Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai estudar se a função
é diferenciável em um ponto específico
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde analisamos como uma função de duas variáveis se comporta perto de um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em
se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. Isso quer dizer que as derivadas em relação a
e
existem e não têm saltos ou descontinuidades em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para a derivada parcial em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos derivar
:
Aqui,
é a função sinal, que vale 1 para
e -1 para
. Para
, a derivada não está definida.
Para a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais em
. A derivada
é contínua para todos os
e
, já que não há problemas de divisão por zero ou outras descontinuidades.
Já a derivada
tem um problema quando
, pois
está no denominador, o que torna a derivada indefinida nesse ponto. Portanto, a derivada parcial em relação a
não é contínua em
.
Passo 5
Como a derivada parcial em relação a
não é contínua em
, a função
não é diferenciável em qualquer ponto
onde
. Em outros pontos onde
, as derivadas parciais são contínuas, então a função é diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável nos pontos onde
, ou seja, em qualquer ponto
. Em todos os outros pontos onde
, a função é diferenciável.
Exercícios relacionados
Determinar o fluxo do campo vetorial
, através da superfície esférica
interior ao cone
com normal exterior.
Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(h)
(h)
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função
.
(a)
(a)