Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar se a função
é diferenciável no ponto
. A função é definida de duas maneiras: quando
e
são diferentes de zero, ela é igual a
; caso contrário, ela é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar as derivadas parciais e a continuidade da função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de
existem no ponto
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Para
(derivada parcial em relação a
):
Porque
para qualquer
.
Para
(derivada parcial em relação a
):
Porque
para qualquer
.
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. Para isso, precisamos que o limite de
quando
se aproxima de
seja igual a
, que é zero.
Vamos calcular o limite:
Esse limite não existe porque, dependendo da direção que a gente se aproxima de
, o valor de
pode ir para
ou
. Portanto, a função não é contínua no ponto
.
Passo 4
Como a função não é contínua no ponto
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, ou seja, se a função não é contínua, definitivamente não é diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque ela não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(f)
(f)
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função
.
(a)
(a)
Determinar o trabalho realizado pela força conseryativa
nos : seguintes deslocamentos:
a) ao longo da elipse , no sentido anti-horário, do ponto
ao
;
b) ao longo do arco de parábola , do ponto
ao ponto
.
a) ao longo da elipse
b) ao longo do arco de parábola