Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
(h) z=llll1x y, & se x neq 0 & e & y neq 0 0, & se x=0 & ou & y=0 ; P0=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar se a função é diferenciável no ponto . A função é definida de duas maneiras: quando e são diferentes de zero, ela é igual a ; caso contrário, ela é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar as derivadas parciais e a continuidade da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de fx(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 existem no ponto fy(0, 0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Para (derivada parcial em relação a ):
Porque para qualquer .
Para (derivada parcial em relação a ):
Porque para qualquer .
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é contínua no ponto lim(x, y) to (0, 0) 1xy . Para isso, precisamos que o limite de quando se aproxima de seja igual a , que é zero.
Vamos calcular o limite:
Esse limite não existe porque, dependendo da direção que a gente se aproxima de , o valor de pode ir para ou . Portanto, a função não é contínua no ponto .

Passo 4

Como a função não é contínua no ponto , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, ou seja, se a função não é contínua, definitivamente não é diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque ela não é contínua nesse ponto.

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