Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar se a função é diferenciável no ponto . A função é definida de duas maneiras: quando e são diferentes de zero, ela é igual a ; caso contrário, ela é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar as derivadas parciais e a continuidade da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de existem no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Para (derivada parcial em relação a ):
Porque para qualquer .
Para (derivada parcial em relação a ):
Porque para qualquer .
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos que o limite de quando se aproxima de seja igual a , que é zero.
Vamos calcular o limite:
Esse limite não existe porque, dependendo da direção que a gente se aproxima de , o valor de pode ir para ou . Portanto, a função não é contínua no ponto .

Passo 4

Como a função não é contínua no ponto , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, ou seja, se a função não é contínua, definitivamente não é diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque ela não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
(f)
, onde é o retângulo de vértices , e , no sentido horário.
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função .
(a)
Determinar o trabalho realizado pela força conseryativa nos : seguintes deslocamentos:
a) ao longo da elipse , no sentido anti-horário, do ponto ao ;
b) ao longo do arco de parábola , do ponto ao ponto .