, onde é o retângulo de vértices , e , no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha sobre um retângulo específico no espaço. A integral que temos é:
O caminho é um retângulo com vértices em , , e , percorrido no sentido horário. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e talvez o teorema de Stokes para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. O que está dentro da integral pode ser visto como o produto escalar de um vetor campo com o vetor diferencial :
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo tem uma propriedade que torna a integral de linha independente do caminho, mas como nosso caminho é fechado, se for conservativo, a integral seria zero. Para testar isso, precisamos calcular o rotacional de .

Passo 4

Calculando o rotacional de :
Vamos calcular cada componente:
  • Componente :
Então:
  • Componente :
Então:
  • Componente :
Então:
Portanto:

Passo 5

Agora, aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. A fórmula é:
Onde é o vetor normal à superfície . Nosso caminho está no plano , então podemos escolher a superfície como esse próprio retângulo no plano .

Passo 6

Determinar o vetor normal para a superfície . Como está no plano , o vetor normal é na direção positiva ou negativa do eixo . Mas como o sentido do caminho é horário quando visto de cima, o vetor normal deve ser apontando para baixo, ou seja:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar do rotacional com o vetor normal:

Passo 8

Finalmente, substituímos na integral de superfície:

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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