, onde
é o retângulo de vértices
,
e
, no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha sobre um retângulo específico no espaço. A integral que temos é:
O caminho
é um retângulo com vértices em
,
,
e
, percorrido no sentido horário. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e talvez o teorema de Stokes para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. O que está dentro da integral pode ser visto como o produto escalar de um vetor campo
com o vetor diferencial
:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo tem uma propriedade que torna a integral de linha independente do caminho, mas como nosso caminho é fechado, se
for conservativo, a integral seria zero. Para testar isso, precisamos calcular o rotacional de
.
Passo 4
Calculando o rotacional de
:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. A fórmula é:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Nosso caminho
está no plano
, então podemos escolher a superfície
como esse próprio retângulo no plano
.
Passo 6
Determinar o vetor normal
para a superfície
. Como
está no plano
, o vetor normal é na direção positiva ou negativa do eixo
. Mas como o sentido do caminho
é horário quando visto de cima, o vetor normal deve ser apontando para baixo, ou seja:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar do rotacional com o vetor normal:
Passo 8
Finalmente, substituímos na integral de superfície:
Resposta
A integral de linha é igual a zero.
Exercícios relacionados
Determinar o fluxo do campo vetorial
, através da superfície esférica
interior ao cone
com normal exterior.
Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(f)
(f)
Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(h)
(h)