ointc[(y-x) d x+(x-z) d y+(x-y) d z], onde C é o retângulo de vértices (0,0,5), (0,2,5),(-1,0,5) e (-1,2,5), no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha sobre um retângulo específico no espaço. A integral que temos é:
ointC [(y - x) , dx + (x - z) , dy + (x - y) , dz]
O caminho C é um retângulo com vértices em (0,0,5), (0,2,5), (-1,0,5) e (-1,2,5), percorrido no sentido horário. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e talvez o teorema de Stokes para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. O que está dentro da integral pode ser visto como o produto escalar de um vetor campo F com o vetor diferencial dr:
F = (y - x, , x - z, , x - y)
Então, nossa integral fica:
ointC F cdot dr

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo tem uma propriedade que torna a integral de linha independente do caminho, mas como nosso caminho é fechado, se F for conservativo, a integral seria zero. Para testar isso, precisamos calcular o rotacional de F.

Passo 4

Calculando o rotacional de F:
nabla times F = ( partial (x - y)partial y - partial (x - z)partial z, , partial (y - x)partial z - partial (x - y)partial x, , partial (x - z)partial x - partial (y - x)partial y )
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
partial (x - y)partial y = -1 e partial (x - z)partial z = -1
Então:
-1 - (-1) = 0
  • Componente j:
partial (y - x)partial z = 0 e partial (x - y)partial x = 1
Então:
0 - 1 = -1
  • Componente k:
partial (x - z)partial x = 1 e partial (y - x)partial y = 1
Então:
1 - 1 = 0
Portanto:
nabla times F = (0, -1, 0)

Passo 5

Agora, aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S. Nosso caminho C está no plano z=5, então podemos escolher a superfície S como esse próprio retângulo no plano z=5.

Passo 6

Determinar o vetor normal n para a superfície S. Como S está no plano z=5, o vetor normal é na direção positiva ou negativa do eixo z. Mas como o sentido do caminho C é horário quando visto de cima, o vetor normal deve ser apontando para baixo, ou seja:
n = (0, 0, -1)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar do rotacional com o vetor normal:
(nabla times F) cdot n = (0, -1, 0) cdot (0, 0, -1) = 0 times 0 + (-1) times 0 + 0 times (-1) = 0

Passo 8

Finalmente, substituímos na integral de superfície:
integral duplaS 0 , dS = 0

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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