Em cada caso, calcule a derivada indicada da função z = f(x, y).
(a) z = x arcsen(x - y) ; f_x(1, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. Aqui, queremos , a derivada de em relação a .

Passo 3

Nossa função é . Para derivar isso em relação a , vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções de : e .

Passo 4

Aplicando a regra do produto: se , então . Aqui, e .

Passo 5

Calculamos . Como , então .

Passo 6

Agora, calculamos . Sabemos que a derivada de é , onde . Então, , já que é constante em relação a .

Passo 7

Substituindo na regra do produto:

Passo 8

Agora, vamos avaliar no ponto :

Passo 9

Sabemos que e . Então:

Resposta

A derivada parcial é .

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