Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estudar se a função dada é diferenciável no ponto . Isso envolve entender sobre diferenciabilidade, que está ligada à existência da derivada naquele ponto. Para resolver, vamos precisar verificar se a função é contínua em e se as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) nesse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, para que uma função seja diferenciável em , ela precisa ser contínua em e as derivadas pela esquerda e pela direita em devem existir e ser iguais. Então, vamos começar verificando a continuidade da função em .

Passo 3

A função é definida de forma diferente para e para . Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita em e comparar com o valor da função nesse ponto.
Para :
Para :
O valor da função em é:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função no ponto, é contínua em .

Passo 4

Agora que sabemos que a função é contínua em , vamos verificar as derivadas pelas duas laterais.
Para :
Para :
Então:

Passo 5

As derivadas laterais em são diferentes:
Isso significa que a derivada não é única nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

Exercícios relacionados

Mostre que os gráficos da funções e são tangentes no mesmo ponto . Esboce os gráficos.
Encontre a derivada das funções a seguir.
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Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
sendo a função do item (j)