Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estudar se a função dada é diferenciável no ponto
. Isso envolve entender sobre diferenciabilidade, que está ligada à existência da derivada naquele ponto. Para resolver, vamos precisar verificar se a função é contínua em
e se as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) nesse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, para que uma função seja diferenciável em
, ela precisa ser contínua em
e as derivadas pela esquerda e pela direita em
devem existir e ser iguais. Então, vamos começar verificando a continuidade da função em
.
Passo 3
A função é definida de forma diferente para
e para
. Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita em
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Para
:
Para
:
O valor da função em
é:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função no ponto,
é contínua em
.
Passo 4
Agora que sabemos que a função é contínua em
, vamos verificar as derivadas pelas duas laterais.
Para
:
Para
:
Então:
Passo 5
As derivadas laterais em
são diferentes:
Isso significa que a derivada não é única nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável em
porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.
Exercícios relacionados
Mostre que os gráficos da funções
e
são tangentes no mesmo ponto
. Esboce os gráficos.
Encontre a derivada das funções a seguir.
Consul
Proteção extra Consul
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Proteção extra Consul
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Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
sendo
a função do item (j)