Mostre que os gráficos da funções
e
são tangentes no mesmo ponto
. Esboce os gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que os gráficos das funções
e
são tangentes no ponto
. Isso envolve calcular os valores das funções e suas derivadas nesse ponto para verificar se elas têm o mesmo valor e a mesma inclinação ali. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se ambas as funções passam pelo ponto
. Para isso, substituímos
em cada função.
Para
:
Então,
, que é o y do ponto P.
Para
:
Então,
, que também corresponde ao y do ponto P.
Isso confirma que ambas as funções passam pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das duas funções para encontrar as inclinações das suas tangentes no ponto
.
A derivada de
é:
Então,
.
A derivada de
é:
Então,
.
As derivadas no ponto
são iguais, ou seja,
. Isso significa que as inclinações das tangentes das duas funções nesse ponto são as mesmas.
Passo 4
Como as duas funções passam pelo ponto
e têm a mesma derivada nesse ponto, podemos concluir que os gráficos delas são tangentes no ponto
.
Resposta
Os gráficos das funções
e
são tangentes no ponto
, pois ambas passam por esse ponto e possuem a mesma inclinação da tangente ali. Ao esboçar os gráficos, você verá que eles se tocam exatamente nesse ponto sem se cruzarem ali.