Mostre que os gráficos da funções f(x) = 3 x^2 e g(x) = 2x^3 + 1 são tangentes no mesmo ponto P(1,3). Esboce os gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que os gráficos das funções e são tangentes no ponto . Isso envolve calcular os valores das funções e suas derivadas nesse ponto para verificar se elas têm o mesmo valor e a mesma inclinação ali. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ambas as funções passam pelo ponto . Para isso, substituímos em cada função.
Para :
Então, , que é o y do ponto P.
Para :
Então, , que também corresponde ao y do ponto P.
Isso confirma que ambas as funções passam pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das duas funções para encontrar as inclinações das suas tangentes no ponto .
A derivada de é:
Então, .
A derivada de é:
Então, .
As derivadas no ponto são iguais, ou seja, . Isso significa que as inclinações das tangentes das duas funções nesse ponto são as mesmas.

Passo 4

Como as duas funções passam pelo ponto e têm a mesma derivada nesse ponto, podemos concluir que os gráficos delas são tangentes no ponto .

Resposta

Os gráficos das funções e são tangentes no ponto , pois ambas passam por esse ponto e possuem a mesma inclinação da tangente ali. Ao esboçar os gráficos, você verá que eles se tocam exatamente nesse ponto sem se cruzarem ali.

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