Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função para entender sua concavidade e possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a analisar como a função se comporta em termos de curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função é . A derivada de em relação a é , onde é uma função de .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Usando a primeira derivada , derivamos novamente:

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade é determinada pelo sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
No nosso caso:
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de . Portanto, também é sempre positivo.

Passo 5

Como para todo , concluímos que a função é sempre côncava para cima.
Além disso, para existir um ponto de inflexão, a segunda derivada precisaria mudar de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa). Como não muda de sinal, não há pontos de inflexão nessa função.

Resposta

A função é sempre côncava para cima em todo o seu domínio e não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Seja uma função definida em , contín
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):