Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
para entender sua concavidade e possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a analisar como a função se comporta em termos de curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Usando a primeira derivada
, derivamos novamente:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade é determinada pelo sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
No nosso caso:
Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
. Portanto,
também é sempre positivo.
Passo 5
Como
para todo
, concluímos que a função
é sempre côncava para cima.
Além disso, para existir um ponto de inflexão, a segunda derivada precisaria mudar de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa). Como
não muda de sinal, não há pontos de inflexão nessa função.
Resposta
A função
é sempre côncava para cima em todo o seu domínio e não possui pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Seja
uma função definida em
, contín
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):