Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função . O conteúdo aqui envolve funções racionais e seus gráficos. Para resolver, vamos precisar identificar o domínio, interceptações com os eixos, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Dominio da função:
Primeiro, vamos descobrir onde essa função está definida. A função está definida para todos os valores de que não fazem o denominador zero.
Então, resolvemos :
Então, o domínio é todos os reais menos .

Passo 3

Interseções com os eixos:
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função corta o eixo y, definimos :
Então, a interseção com o eixo y é no ponto .
Interseção com o eixo x:
Para encontrar onde a função corta o eixo x, definimos :
Então, a interseção com o eixo x também é no ponto .

Passo 4

Assíntotas:
Assíntota vertical:
A assíntota vertical ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Já vimos que , então temos uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o limite da função quando tende a infinito.
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Pontos críticos e derivadas:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e igualar a zero.
Primeiro, calculamos :
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos :
Isso nunca é zero, já que o numerador é sempre 1. Portanto, não há pontos críticos.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento:
Analisando a derivada , vemos que é sempre positiva, já que um quadrado é sempre positivo.
Então, a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão:
Para determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada .
Primeiro, derivamos :
Agora, analisamos o sinal de :
  • Quando , , então → Concavidade para baixo.
  • Quando , , então → Concavidade para cima.
O ponto já é uma assíntota, então não há ponto de inflexão na função.

Resposta

O gráfico de possui domínio , intercepta os eixos nos pontos , tem assíntotas vertical em e horizontal em . A função é crescente em todo o domínio, não apresenta extremos relativos, é côncava para cima quando e côncava para baixo quando , sem pontos de inflexão.

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