Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. O conteúdo aqui envolve funções racionais e seus gráficos. Para resolver, vamos precisar identificar o domínio, interceptações com os eixos, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Dominio da função:
Primeiro, vamos descobrir onde essa função está definida. A função
está definida para todos os valores de
que não fazem o denominador zero.
Então, resolvemos
:
Então, o domínio é todos os reais menos
.
Passo 3
Interseções com os eixos:
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função corta o eixo y, definimos
:
Então, a interseção com o eixo y é no ponto
.
Interseção com o eixo x:
Para encontrar onde a função corta o eixo x, definimos
:
Então, a interseção com o eixo x também é no ponto
.
Passo 4
Assíntotas:
Assíntota vertical:
A assíntota vertical ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Já vimos que
, então temos uma assíntota vertical em
.
Assíntota horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o limite da função quando
tende a infinito.
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Pontos críticos e derivadas:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e igualar a zero.
Primeiro, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos
:
Isso nunca é zero, já que o numerador é sempre 1. Portanto, não há pontos críticos.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento:
Analisando a derivada
, vemos que é sempre positiva, já que um quadrado é sempre positivo.
Então, a função é crescente em todo o seu domínio.
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão:
Para determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada
.
Primeiro, derivamos
:
Agora, analisamos o sinal de
:
- Quando
, , então → Concavidade para baixo. - Quando
, , então → Concavidade para cima.
O ponto
já é uma assíntota, então não há ponto de inflexão na função.
Resposta
O gráfico de
possui domínio
, intercepta os eixos nos pontos
, tem assíntotas vertical em
e horizontal em
. A função é crescente em todo o domínio, não apresenta extremos relativos, é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
, sem pontos de inflexão.
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