Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estudo de gráficos de funções. A função que vamos analisar é
. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar domínio, interseções, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como a função exponencial
está definida para todos os números reais, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
- Interseção com o eixo y: ocorre quando
. Então:
Portanto, a interseção com o eixo y é o ponto
.
- Interseção com o eixo x: ocorre quando
. Mas nunca é zero para nenhum valor real de , então não há interseção com o eixo x.
Passo 4
Vamos verificar se existem ass��ntotas.
- Assíntotas horizontais: analisamos o comportamento da função quando
tende para e para .
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
- Assíntotas verticais: não há, pois a função está definida para todos os
e não tende para infinito em nenhum ponto.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada primeira é zero ou não existe. Calculamos a derivada de
:
Para achar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a derivada primeira
.
-
Para
: -
(já que é negativo) -
- Então,
: a função está crescente.
-
-
Para
: -
(já que é positivo) -
- Então,
: a função está decrescente.
-
Passo 7
Vamos identificar os extremos relativos. No ponto crítico
:
- Como a função muda de crescente para decrescente passando por
, temos um máximo relativo em . - O valor máximo é
.
Passo 8
Agora, vamos estudar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Calculamos a derivada segunda:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos
a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Portanto, os pontos de inflexão são
e
.
Analisando a concavidade:
-
Para
: -
-
: concavidade para baixo.
-
-
Para
: -
-
: concavidade para cima.
-
Resposta
O gráfico da função
possui domínio em todos os reais, interseção com o eixo y no ponto (0, 1), não possui interseção com o eixo x, e uma assíntota horizontal em
. A função possui um máximo relativo em
com valor 1. Está crescente para
e decrescente para
. Em termos de concavidade, a função é côncava para baixo entre
e
, e côncava para cima fora desse intervalo, com pontos de inflexão em
. O gráfico apresenta a forma de um sino, simétrico em relação ao eixo y.
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Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Determine a derivada de cada função a seguir: