Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estudo de gráficos de funções. A função que vamos analisar é . Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar domínio, interseções, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a função exponencial está definida para todos os números reais, o domínio é:
íú

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando . Então:
Portanto, a interseção com o eixo y é o ponto .
  • Interseção com o eixo x: ocorre quando . Mas nunca é zero para nenhum valor real de , então não há interseção com o eixo x.

Passo 4

Vamos verificar se existem ass��ntotas.
  • Assíntotas horizontais: analisamos o comportamento da função quando tende para e para .
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .
  • Assíntotas verticais: não há, pois a função está definida para todos os e não tende para infinito em nenhum ponto.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada primeira é zero ou não existe. Calculamos a derivada de :
Para achar os pontos críticos, igualamos a zero:
Como nunca é zero, temos:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 6

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a derivada primeira .
  • Para :
    • (já que é negativo)
    • Então, : a função está crescente.
  • Para :
    • (já que é positivo)
    • Então, : a função está decrescente.

Passo 7

Vamos identificar os extremos relativos. No ponto crítico :
  • Como a função muda de crescente para decrescente passando por , temos um máximo relativo em .
  • O valor máximo é .

Passo 8

Agora, vamos estudar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Calculamos a derivada segunda:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a zero:
Como nunca é zero, temos:
Portanto, os pontos de inflexão são e .
Analisando a concavidade:
  • Para :
    • : concavidade para baixo.
  • Para :
    • : concavidade para cima.

Resposta

O gráfico da função possui domínio em todos os reais, interseção com o eixo y no ponto (0, 1), não possui interseção com o eixo x, e uma assíntota horizontal em . A função possui um máximo relativo em com valor 1. Está crescente para e decrescente para . Em termos de concavidade, a função é côncava para baixo entre e , e côncava para cima fora desse intervalo, com pontos de inflexão em . O gráfico apresenta a forma de um sino, simétrico em relação ao eixo y.

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Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Determine a derivada de cada função a seguir: