Ache o ponto de inflexão de f(x) = 1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 - 2 * x + 1 e faça um esboço do gráfico de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto de inflexão da função e fazer um esboço do gráfico dela. A gente vai precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a concavidade da função muda, que é o que define o ponto de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. É o ponto onde a curva da função muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esse ponto, precisamos calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos mostra a concavidade da função.

Passo 5

Para encontrar o ponto de inflexão, vamos igualar a segunda derivada a zero e resolver para :

Passo 6

Encontramos que . Agora, vamos substituir esse valor na função original para achar a coordenada :

Resposta

O ponto de inflexão da função é .

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