Ache o valor absoluto da derivada direcional em da função na direção normal, em , à superfície .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor absoluto da derivada direcional da função no ponto . A direção dessa derivada é a normal à superfície no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Derivada Direcional: mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
  • Gradiente da Função: vetores que apontam na direção de maior aumento da função.
  • Vetores Normais: perpendiculares à superfície.
  • Normalização de Vetores: para obter uma direção unitária.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente em é o vetor .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a direção normal à superfície no ponto . A direção normal é dada pelo gradiente da equação da superfície.
Calculando o gradiente da superfície:
Avaliando no ponto :
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Para encontrar a unidade direcional na direção do vetor normal, precisamos normalizar . A normalização consiste em dividir o vetor pela sua magnitude.
Calculando a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente da função pelo vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Finalmente, queremos o valor absoluto dessa derivada direcional:

Resposta

O valor absoluto da derivada direcional é .

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Derive.
Considere .
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;
A temperatura num ponto do plano é dada por .
a) Calcule a derivada direcional no ponto , no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos .
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(b) ;