Ache o valor absoluto da derivada direcional em da função na direção normal, em , à superfície .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor absoluto da derivada direcional da função no ponto . A direção dessa derivada é a normal à superfície no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar:
Derivada Direcional: mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
Gradiente da Função: vetores que apontam na direção de maior aumento da função.
Vetores Normais: perpendiculares à superfície.
Normalização de Vetores: para obter uma direção unitária.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente em é o vetor .
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a direção normal à superfície no ponto . A direção normal é dada pelo gradiente da equação da superfície.
Calculando o gradiente da superfície:
Avaliando no ponto :
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Para encontrar a unidade direcional na direção do vetor normal, precisamos normalizar. A normalização consiste em dividir o vetor pela sua magnitude.
Calculando a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente da função pelo vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Finalmente, queremos o valor absoluto dessa derivada direcional: