Estude o limite assintótico em
da equação radial. Discuta as soluções para
e
. Discuta a relação entre o limite assintótico e a condição de normalização da função de onda. Discuta também a relação do limite com o sinal da energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar o limite assintótico em
da equação radial. Isso significa que vamos analisar o comportamento da solução da equação radial quando
(a distância) se aproxima de zero e do infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação radial de Schrödinger e como ela se comporta nesses limites. Também vamos ver como esses comportamentos estão ligados à normalização da função de onda e ao sinal da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação radial de Schrödinger. Ela descreve como a parte radial da função de onda de uma partícula se comporta sob um potencial central. A equação geralmente tem a forma:
Aqui,
é a função radial,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o número quântico angular,
é o potencial, e
é a energia.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento para
. Nessa região, se o potencial
for menos relevante comparado aos termos envolvendo
, a equação pode ser aproximada por:
Essa é uma equação diferencial comum cujo comportamento das soluções depende dos termos de potência de
. As soluções gerais são combinações de
e
. Porém,
tende a infinito quando
, o que geralmente não é fisicamente aceitável. Portanto, a solução física é aquela que se comporta como
perto da origem.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
. Nessa região, se o potencial
tende a zero ou a uma constante, a equação radial simplifica para:
Onde
. As soluções dessa equação são ondas exponenciais,
e
. Para que a função de onda seja normalizável, precisamos que ela não cresça infinitamente quando
, então escolhemos a solução que decai, que geralmente é
se
.
Passo 5
Sobre a normalização da fun��ão de onda, ela deve ser integrável sobre todo o espaço, ou seja:
No limite
, garantimos que
não diverge mais rápido que
, o que é atendido pela solução
. No limite
, a função
deve decair exponencialmente, como
, para que o integral acima converja.
Passo 6
Quanto ao sinal da energia
, ele está diretamente relacionado ao comportamento assintótico da função de onda. Se
, a solução no infinito é uma exponencial decrescente
, indicando estados ligados, onde a partícula está confinada. Se
, a solução representa ondas livres,
e
, que não são normalizáveis e indicam que a partícula está livre para se mover no espaço.
Resposta
Resumindo, no limite
, a solução física da equação radial se comporta como
, garantindo que a função de onda não diverja. No limite
, para estados ligados com
, a solução decai exponencialmente como
, assegurando a normalização da função de onda. Além disso, o sinal da energia determina o tipo de solução assintótica:
corresponde a estados ligados com função de onda normalizável, enquanto
está associado a estados livres com soluções que não são normalizáveis.