Estude o limite assintótico em r da equação radial. Discuta as soluções para r 0 e r infty. Discuta a relação entre o limite assintótico e a condição de normalização da função de onda. Discuta também a relação do limite com o sinal da energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar o limite assintótico em da equação radial. Isso significa que vamos analisar o comportamento da solução da equação radial quando (a distância) se aproxima de zero e do infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação radial de Schrödinger e como ela se comporta nesses limites. Também vamos ver como esses comportamentos estão ligados à normalização da função de onda e ao sinal da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação radial de Schrödinger. Ela descreve como a parte radial da função de onda de uma partícula se comporta sob um potencial central. A equação geralmente tem a forma:
-hbar^22m ( d^2u(r)dr^2 - l(l+1)r^2 u(r) ) + V(r)u(r) = E u(r)
Aqui, é a função radial, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o número quântico angular, é o potencial, e é a energia.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento para d^2u(r)dr^2 - l(l+1)r^2 u(r) approx 0 . Nessa região, se o potencial for menos relevante comparado aos termos envolvendo , a equação pode ser aproximada por:
Essa é uma equação diferencial comum cujo comportamento das soluções depende dos termos de potência de . As soluções gerais são combinações de e . Porém, tende a infinito quando , o que geralmente não é fisicamente aceitável. Portanto, a solução física é aquela que se comporta como perto da origem.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando d^2u(r)dr^2 + k^2 u(r) = 0 . Nessa região, se o potencial tende a zero ou a uma constante, a equação radial simplifica para:
Onde . As soluções dessa equação são ondas exponenciais, e . Para que a função de onda seja normalizável, precisamos que ela não cresça infinitamente quando , então escolhemos a solução que decai, que geralmente é se .

Passo 5

Sobre a normalização da fun��ão de onda, ela deve ser integrável sobre todo o espaço, ou seja:
integral0^infty |u(r)|^2 dr < infty
No limite , garantimos que não diverge mais rápido que , o que é atendido pela solução . No limite , a função deve decair exponencialmente, como , para que o integral acima converja.

Passo 6

Quanto ao sinal da energia , ele está diretamente relacionado ao comportamento assintótico da função de onda. Se , a solução no infinito é uma exponencial decrescente , indicando estados ligados, onde a partícula está confinada. Se , a solução representa ondas livres, e , que não são normalizáveis e indicam que a partícula está livre para se mover no espaço.

Resposta

Resumindo, no limite , a solução física da equação radial se comporta como , garantindo que a função de onda não diverja. No limite , para estados ligados com , a solução decai exponencialmente como , assegurando a normalização da função de onda. Além disso, o sinal da energia determina o tipo de solução assintótica: corresponde a estados ligados com função de onda normalizável, enquanto está associado a estados livres com soluções que não são normalizáveis.

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