Especialize a equação radial para o caso convergente. Encontre as soluções que satisfazem a condição de normalização. Aplique o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação radial. Mostre e discuta os valores da energia permitidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente trabalhar com a equação radial no caso convergente. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, onde estudamos partículas em potenciais centrados, tipo o átomo de hidrogênio. Para resolver, vamos precisar usar o método de Frobenius, que é uma técnica para resolver equações diferenciais, e também aplicar a condição de normalização para garantir que a função de onda seja física. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação radial na Mecânica Quântica. Geralmente, ela vem da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. A forma geral é:
Aqui,
é a função radial,
é a massa da partícula,
é a constante de Planck reduzida,
é a energia,
é o potencial, e
é o número quântico angular.
Passo 3
No caso convergente, geralmente estamos lidando com potenciais que asseguram que a função de onda tende a zero quando
vai para infinito, como no potencial de Coulomb. Vamos assumir que estamos trabalhando com o potencial
, onde
é a carga nuclear e
é a carga do elétron.
Substituindo
na equação radial, temos:
Passo 4
Pra resolver essa equação, vamos aplicar o método de Frobenius, que nos ajuda a encontrar soluções perto de uma singularidade, como
. Primeiro, fazemos uma mudança de variável para simplificar a equação. Definimos:
onde
é um parâmetro de escala que vamos determinar. A ideia é reescrever a equação em termos de
para facilitar a aplicação do método.
Passo 5
Com a mudança de variável, a equação radial se transforma e podemos supor uma solução da forma:
Aqui,
é um expoente que determina o comportamento da função perto de
, e
é uma função que vamos determinar.
Substituindo
na equação radial e simplificando, obtemos uma equação para
que é uma equação de polinômios. Requerendo que a série converja, encontramos que
deve ser um polinômio de grau finito, o que nos leva aos valores quantizados de energia.
Passo 6
Aplicando as condições de normalização, que dizem que a integral da função de onda ao quadrado deve ser 1, restringimos ainda mais os valores de
. Isso nos leva aos valores de energia permitidos, que para o átomo de hidrogênio, por exemplo, são dados por:
onde
é o número quântico principal.
Resposta
As soluções da equação radial, obtidas pelo método de Frobenius e sujeitas à condição de normalização, resultam em funções de onda físicas apenas para valores de energia quantizados dados por
, onde
é um número inteiro positivo. Isso significa que a energia permitida para a partícula está quantizada e depende do número quântico principal
.
Exercícios relacionados
Usando coordenadas esféricas, aplique o método de separação de variáveis para resolver a equação de autovalores de energia e autoestados de energia.
(a) Faça a separação de variáveis . Mostre que a parte angular
pode ser escrita como harmônicos esféricos fazendo a separação em
e em
. Discuta os rótulos
e
associados aos harmônicos esféricos. Explique e discuta quais são os possíveis valores.
(a) Faça a separação de variáveis
Usando a separação de variáveis, mostre que a parte radial
da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:
Estude o limite assintótico em
da equação radial. Discuta as soluções para
e
. Discuta a relação entre o limite assintótico e a condição de normalização da função de onda. Discuta também a relação do limite com o sinal da energia.
Calcule a impedância do circuito.