Especialize a equação radial para o caso convergente. Encontre as soluções que satisfazem a condição de normalização. Aplique o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação radial. Mostre e discuta os valores da energia permitidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente trabalhar com a equação radial no caso convergente. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, onde estudamos partículas em potenciais centrados, tipo o átomo de hidrogênio. Para resolver, vamos precisar usar o método de Frobenius, que é uma técnica para resolver equações diferenciais, e também aplicar a condição de normalização para garantir que a função de onda seja física. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação radial na Mecânica Quântica. Geralmente, ela vem da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. A forma geral é:
d^2u(r)dr^2 + [ 2mhbar^2(E - V(r)) - l(l+1)r^2 ] u(r) = 0
Aqui, é a função radial, é a massa da partícula, é a constante de Planck reduzida, é a energia, é o potencial, e é o número quântico angular.

Passo 3

No caso convergente, geralmente estamos lidando com potenciais que asseguram que a função de onda tende a zero quando d^2u(r)dr^2 + [ 2mhbar^2(E + Ze^2r) - l(l+1)r^2 ] u(r) = 0 vai para infinito, como no potencial de Coulomb. Vamos assumir que estamos trabalhando com o potencial , onde é a carga nuclear e é a carga do elétron.
Substituindo na equação radial, temos:

Passo 4

Pra resolver essa equação, vamos aplicar o método de Frobenius, que nos ajuda a encontrar soluções perto de uma singularidade, como rho = ra . Primeiro, fazemos uma mudança de variável para simplificar a equação. Definimos:
onde é um parâmetro de escala que vamos determinar. A ideia é reescrever a equação em termos de para facilitar a aplicação do método.

Passo 5

Com a mudança de variável, a equação radial se transforma e podemos supor uma solução da forma:
u(rho) = rho^s e^-rho/2 y(rho)
Aqui, é um expoente que determina o comportamento da função perto de , e é uma função que vamos determinar.
Substituindo na equação radial e simplificando, obtemos uma equação para que é uma equação de polinômios. Requerendo que a série converja, encontramos que deve ser um polinômio de grau finito, o que nos leva aos valores quantizados de energia.

Passo 6

Aplicando as condições de normalização, que dizem que a integral da função de onda ao quadrado deve ser 1, restringimos ainda mais os valores de En = -me^4 Z^22hbar^2 n^2 . Isso nos leva aos valores de energia permitidos, que para o átomo de hidrogênio, por exemplo, são dados por:
onde é o número quântico principal.

Resposta

As soluções da equação radial, obtidas pelo método de Frobenius e sujeitas à condição de normalização, resultam em funções de onda físicas apenas para valores de energia quantizados dados por , onde é um número inteiro positivo. Isso significa que a energia permitida para a partícula está quantizada e depende do número quântico principal .

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