Usando coordenadas esféricas, aplique o método de separação de variáveis para resolver a equação de autovalores de energia e autoestados de energia.
(a) Faça a separação de variáveis . Mostre que a parte angular pode ser escrita como harmônicos esféricos fazendo a separação em e em . Discuta os rótulos e associados aos harmônicos esféricos. Explique e discuta quais são os possíveis valores.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente precisa resolver a equação de autovalores de energia usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos separar a função de onda em duas partes: uma que depende só da distância e outra que depende dos ângulos e . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais parciais e a separação de variáveis, usando conceitos de harmônicos esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda como o produto de duas funções: uma radial e uma angular .

Passo 3

Agora, vamos focar na parte angular . A ideia é separar as variáveis e . Vamos assumir que pode ser escrita como o produto de uma função só de e outra só de :

Passo 4

Vamos substituir essa expressão na equação original e separar as partes que dependem de e . Isso vai nos levar a duas equações diferenciais separadas, uma para e outra para .

Passo 5

Resolvendo a equação para , encontramos que a solução é exponencial complexa:
Aqui, é um número inteiro que surge da condição de periodicidade da função quando varia de a .

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para . A solução dessa equação leva aos chamados polinômios de Legendre associados, e combinando com , obtemos os harmônicos esféricos:

Passo 7

Os harmônicos esféricos têm dois números quânticos associados: e . O número é o número quântico angular, que determina a forma geral da função de onda, e é o número quântico magnético, que está relacionado à orientação angular.

Passo 8

Os valores possíveis de são números inteiros não negativos: . Para cada valor de , o número pode assumir valores inteiros entre e , ou seja, . Isso garante que as funções sejam bem comportadas e respeitem a simetria esférica.

Resposta

Assim, mostramos que a parte angular da função de onda pode ser expressa como harmônicos esféricos , onde os rótulos e são números inteiros com e . Esses números quânticos representam, respectivamente, o momento angular total e sua projeção em uma direção escolhida.

Exercícios relacionados

Usando a separação de variáveis, mostre que a parte radial da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:
Utilizando os conceitos da análise dimensional, mostre que o coeficiente de sustentação, , é uma função do número de Reynolds, ou seja, .
Especialize a equação radial para o caso convergente. Encontre as soluções que satisfazem a condição de normalização. Aplique o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação radial. Mostre e discuta os valores da energia permitidos.
Estude o limite assintótico em da equação radial. Discuta as soluções para e . Discuta a relação entre o limite assintótico e a condição de normalização da função de onda. Discuta também a relação do limite com o sinal da energia.