Usando coordenadas esféricas, aplique o método de separação de variáveis para resolver a equação de autovalores de energia e autoestados de energia.
(a) Faça a separação de variáveis psi(r, theta, phi)=R(r) Y(theta, phi). Mostre que a parte angular Y(theta, phi) pode ser escrita como harmônicos esféricos fazendo a separação em phi e em theta. Discuta os rótulos l e m associados aos harmônicos esféricos. Explique e discuta quais são os possíveis valores.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente precisa resolver a equação de autovalores de energia usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos separar a função de onda psi(r, theta, phi) em duas partes: uma que depende só da distância r e outra que depende dos ângulos theta e phi. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais parciais e a separação de variáveis, usando conceitos de harmônicos esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda como o produto de duas funções: uma radial R(r) e uma angular Y(theta, phi).
psi(r, theta, phi) = R(r) , Y(theta, phi)

Passo 3

Agora, vamos focar na parte angular Y(theta, phi). A ideia é separar as variáveis theta e phi. Vamos assumir que Y(theta, phi) pode ser escrita como o produto de uma função só de theta e outra só de phi:
Y(theta, phi) = Theta(theta) , Phi(phi)

Passo 4

Vamos substituir essa expressão na equação original e separar as partes que dependem de theta e phi. Isso vai nos levar a duas equações diferenciais separadas, uma para Theta(theta) e outra para Phi(phi).

Passo 5

Resolvendo a equação para Phi(phi), encontramos que a solução é exponencial complexa:
Phi(phi) = e^i m phi
Aqui, m é um número inteiro que surge da condição de periodicidade da função quando phi varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para Theta(theta). A solução dessa equação leva aos chamados polinômios de Legendre associados, e combinando com Phi(phi), obtemos os harmônicos esféricos:
Yl^m(theta, phi) = Theta(theta) , Phi(phi)

Passo 7

Os harmônicos esféricos Yl^m(theta, phi) têm dois números quânticos associados: l e m. O número l é o número quântico angular, que determina a forma geral da função de onda, e m é o número quântico magnético, que está relacionado à orientação angular.

Passo 8

Os valores possíveis de l são números inteiros não negativos: l = 0, 1, 2, dots. Para cada valor de l, o número m pode assumir valores inteiros entre -l e l, ou seja, m = -l, -l+1, dots, l-1, l. Isso garante que as funções sejam bem comportadas e respeitem a simetria esférica.

Resposta

Assim, mostramos que a parte angular da função de onda pode ser expressa como harmônicos esféricos Yl^m(theta, phi), onde os rótulos l e m são números inteiros com l >= 0 e -l <= m <= l. Esses números quânticos representam, respectivamente, o momento angular total e sua projeção em uma direção escolhida.

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