Usando coordenadas esféricas, aplique o método de separação de variáveis para resolver a equação de autovalores de energia e autoestados de energia.
(a) Faça a separação de variáveis
. Mostre que a parte angular
pode ser escrita como harmônicos esféricos fazendo a separação em
e em
. Discuta os rótulos
e
associados aos harmônicos esféricos. Explique e discuta quais são os possíveis valores.
(a) Faça a separação de variáveis
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente precisa resolver a equação de autovalores de energia usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos separar a função de onda
em duas partes: uma que depende só da distância
e outra que depende dos ângulos
e
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais parciais e a separação de variáveis, usando conceitos de harmônicos esféricos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de onda como o produto de duas funções: uma radial
e uma angular
.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte angular
. A ideia é separar as variáveis
e
. Vamos assumir que
pode ser escrita como o produto de uma função só de
e outra só de
:
Passo 4
Vamos substituir essa expressão na equação original e separar as partes que dependem de
e
. Isso vai nos levar a duas equações diferenciais separadas, uma para
e outra para
.
Passo 5
Resolvendo a equação para
, encontramos que a solução é exponencial complexa:
Aqui,
é um número inteiro que surge da condição de periodicidade da função quando
varia de
a
.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para
. A solução dessa equação leva aos chamados polinômios de Legendre associados, e combinando com
, obtemos os harmônicos esféricos:
Passo 7
Os harmônicos esféricos
têm dois números quânticos associados:
e
. O número
é o número quântico angular, que determina a forma geral da função de onda, e
é o número quântico magnético, que está relacionado à orientação angular.
Passo 8
Os valores possíveis de
são números inteiros não negativos:
. Para cada valor de
, o número
pode assumir valores inteiros entre
e
, ou seja,
. Isso garante que as funções sejam bem comportadas e respeitem a simetria esférica.
Resposta
Assim, mostramos que a parte angular da função de onda pode ser expressa como harmônicos esféricos
, onde os rótulos
e
são números inteiros com
e
. Esses números quânticos representam, respectivamente, o momento angular total e sua projeção em uma direção escolhida.
Exercícios relacionados
Usando a separação de variáveis, mostre que a parte radial
da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:
Utilizando os conceitos da análise dimensional, mostre que o coeficiente de sustentação,
, é uma função do número de Reynolds, ou seja,
.
Especialize a equação radial para o caso convergente. Encontre as soluções que satisfazem a condição de normalização. Aplique o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação radial. Mostre e discuta os valores da energia permitidos.
Estude o limite assintótico em
da equação radial. Discuta as soluções para
e
. Discuta a relação entre o limite assintótico e a condição de normalização da função de onda. Discuta também a relação do limite com o sinal da energia.