Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre a posição relativa de duas retas no espaço tridimensional. A gente vai precisar entender como representam retas no espaço usando sistemas de equações lineares e depois verificar se essas retas são paralelas, coincidentes, se se interceptam ou se são retas espanhas (ou seja, nem paralelas nem se cruzam). Para isso, vamos precisar resolver sistemas de equações e comparar vetores diretores das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma representação paramétrica para a reta . O sistema de equações da reta é:
Podemos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função da terceira.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na segunda equação:
Vamos escolher como parâmetro. Então:
Portanto, a representação paramétrica da reta é:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta 2x - 3y + z = 5 x + y - 2z = 0 . O sistema de equações da reta 2(x + y - 2z) = 0 2x + 2y - 4z = 0 é:
Vamos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função da terceira.
Podemos multiplicar a segunda equação por 2:
x + (z - 1) - 2z = 0 x - z - 1 = 0 x = z + 1
Agora, subtraímos essa equação da primeira equação do sistema:
x = s + 1 y = s - 1 z = s
Substituímos S: x = s + 1 y = s - 1 z = s na segunda equação original:
Vamos escolher como parâmetro. Então:
Portanto, a representação paramétrica da reta é:
Passo 4
Agora que temos as representações paramétricas das duas retas, vamos identificar os vetores diretores de cada uma. O vetor diretor é dado pelos coeficientes dos parâmetros nas equações paramétricas.
Para a reta dr = 1 0 1 :
dS = 1 1 1
Para a reta :
Passo 5
Vamos verificar se as retas são paralelas. Retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos um do outro.
Comparando dr = 1 0 1 , dS = 1 1 1 e :
Não existe um número tal que , pois as componentes y são diferentes e não proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 6
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Igualamos as representações paramétricas das retas:
Para x = t + 1, y = -1, z = t :
x = s + 1, y = s - 1, z = s
Para t + 1 = s + 1 Rightarrow t = s :
-1 = s - 1 Rightarrow s = 0
Igualando as componentes:
x = 0 + 1 = 1, y = -1, z = 0
x = 0 + 1 = 1, y = 0 - 1 = -1, z = 0
Substituindo e :
Para :
Para :
As coordenadas correspondem ao mesmo ponto .
Resposta
As retas e se interceptam no ponto . Portanto, elas são retas que se cruzam.