Seja
. A matriz
é diagonalizável se:
b
b
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
. A pergunta é: essa matriz é diagonalizável quando
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável, além de calcular os autovalores e verificar as condições necessárias para a diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como
, onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de
. Isso só é possível se
tiver um número suficiente de autovetores linearesmente independentes, ou seja, se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.
Passo 3
Para descobrir se
é diagonalizável, vamos primeiro encontrar os autovalores dela. Isso se faz resolvendo o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Então,
.
Passo 4
Calculando o determinante:
Vamos simplificar isso:
Então:
Passo 5
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, vemos que o discriminante é negativo (
), o que significa que os autovalores são complexos e conjugados.
Passo 6
Como a matriz
tem autovalores complexos e distintos, ela é diagonalizável no conjunto dos números complexos. No entanto, se estamos trabalhando apenas com números reais, uma matriz com autovalores complexos não é diagonalizável.
Passo 7
Portanto, respondendo à pergunta: para
, a matriz
possui autovalores complexos e distintos, o que a torna diagonalizável no conjunto dos números complexos, mas não no conjunto dos números reais.
Resposta
Sim, a matriz
é diagonalizável quando
, considerando números complexos.