Seja A=[cc1 & 2 -12 & x]. A matriz A é diagonalizável se:
b x=12

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz 1 & 2 -12 & x . A pergunta é: essa matriz é diagonalizável quando ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável, além de calcular os autovalores e verificar as condições necessárias para a diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de . Isso só é possível se tiver um número suficiente de autovetores linearesmente independentes, ou seja, se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.

Passo 3

Para descobrir se 1 - lambda & 2 -12 & 12 - lambda é diagonalizável, vamos primeiro encontrar os autovalores dela. Isso se faz resolvendo o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Então, .

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(12 - lambda) - (2)(-12) = (1 - lambda)(12 - lambda) + 1
Vamos simplificar isso:
(1 - lambda)(12 - lambda) = 12(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) = 12 - lambda2 - lambda + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = 12 - 3lambda2 + lambda^2 + 1 = lambda^2 - 3lambda2 + 32

Passo 5

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 3lambda2 + 32 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
2lambda^2 - 3lambda + 3 = 0
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
lambda = 3 pm raiz9 - 244 = 3 pm raiz-154
Aqui, vemos que o discriminante é negativo ( ), o que significa que os autovalores são complexos e conjugados.

Passo 6

Como a matriz tem autovalores complexos e distintos, ela é diagonalizável no conjunto dos números complexos. No entanto, se estamos trabalhando apenas com números reais, uma matriz com autovalores complexos não é diagonalizável.

Passo 7

Portanto, respondendo à pergunta: para , a matriz possui autovalores complexos e distintos, o que a torna diagonalizável no conjunto dos números complexos, mas não no conjunto dos números reais.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável quando , considerando números complexos.

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