Estude a posição relativa das retas
e
nos seguintes casos:
(a)
e
Resposta: reversas
(a)
Resposta: reversas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a posição relativa das retas
e
. Isso faz parte da matéria de geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar as retas em forma paramétrica e verificar se elas são paralelas, coincidentes, se cruzam ou são reversas (não se encontram e não são paralelas).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma mais clara. A reta
está dada por:
Podemos separar isso em equações paramétricas. Vamos chamar o denominador comum, 2, de parâmetro
. Então:
Portanto, a forma paramétrica da reta
é:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta
, que já está na forma paramétrica:
Aqui, o ponto de partida é
e o vetor diretor é
.
Passo 4
Para determinar a posição relativa das retas
e
, vamos verificar se elas são paralelas, se coincidem, se se cruzam ou se são reversas.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
- Vetor diretor de
: - Vetor diretor de
:
Vamos ver se um vetor é múltiplo do outro:
Como não há um único número que multiplique
para obter
, as retas não são paralelas.
Passo 5
Agora, vamos verificar se há algum ponto de interseção entre as retas
e
. Isso significa encontrar valores de
e
que satisfaçam:
Da última equação, temos
. Substituindo em
, temos
.
Agora, substituindo
na primeira equação:
Mas, pela segunda equação,
, então:
Isso é um conflito, o que significa que não há um ponto comum onde as retas se cruzam.
Resposta
As retas
e
são reversas, ou seja, não se cruzam e não são paralelas.