Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
(a) r: x+12=y=z+12 e s: X=(0,0,0)+lambda(1,2,0), lambda in R
Resposta: reversas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a posição relativa das retas e . Isso faz parte da matéria de geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar as retas em forma paramétrica e verificar se elas são paralelas, coincidentes, se cruzam ou são reversas (não se encontram e não são paralelas).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma mais clara. A reta x+12 = y = z + 12 está dada por:
x + 1 = 2t Rightarrow x = 2t - 1
Podemos separar isso em equações paramétricas. Vamos chamar o denominador comum, 2, de parâmetro y = t . Então:
z = t - 12
r(t) = (-1, 0, -12) + t(2, 1, 1)
Portanto, a forma paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta s(lambda) = (0, 0, 0) + lambda(1, 2, 0) , que já está na forma paramétrica:
Aqui, o ponto de partida é e o vetor diretor é .

Passo 4

Para determinar a posição relativa das retas 21 = 2, 12 = 0.5, 10 não existe e , vamos verificar se elas são paralelas, se coincidem, se se cruzam ou se são reversas.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de :
  • Vetor diretor de :
Vamos ver se um vetor é múltiplo do outro:
ã
Como não há um único número que multiplique para obter , as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos verificar se há algum ponto de interseção entre as retas 2t - 1 = lambda e t = 2lambda . Isso significa encontrar valores de t - 12 = 0 e 2(12) - 1 = 24 - 1 = 23 que satisfaçam:
x = 23 e x = lambda = 6
Da última equação, temos . Substituindo em , temos .
Agora, substituindo na primeira equação:
Mas, pela segunda equação, , então:
Isso é um conflito, o que significa que não há um ponto comum onde as retas se cruzam.

Resposta

As retas e são reversas, ou seja, não se cruzam e não são paralelas.

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