Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes! A gente tem uma matriz 4x4 chamada e precisa calcular o determinante dela. Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que têm várias aplicações, como resolver sistemas de equações ou encontrar inversas de matrizes. Para resolver, vamos usar a regra de Sarrus estendida ou a expansão por cofatores, que são métodos comuns para encontrar determinantes de matrizes maiores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser encontrado expandindo a matriz por uma linha ou coluna e calculando os cofatores correspondentes. Vamos escolher expandir pela primeira linha para facilitar.
Para expandir pelo primeiro elemento da primeira linha (que é 2), vamos calcular o menor complementar (determinante da matriz 3x3 que sobra quando removemos a linha e a coluna desse elemento) e multiplicar pelo sinal apropriado.
Passo 4
Vamos calcular o cofactor para o primeiro elemento (2):
C11 = (-1)^1+1 times det -2 & 5 & 7 7 & 2 & 4 3 & 2 & 4
Aqui, o sinal é positivo porque .
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
det -2 & 5 & 7 7 & 2 & 4 3 & 2 & 4 = -2 times (2 times 4 - 4 times 2) - 5 times (7 times 4 - 4 times 3) + 7 times (7 times 2 - 2 times 3)
Simplificando cada parte:
-2 times (8 - 8) = -2 times 0 = 0
-5 times (28 - 12) = -5 times 16 = -80
7 times (14 - 6) = 7 times 8 = 56
Somando tudo:
0 - 80 + 56 = -24
Passo 6
Então, o cofactor .
Passo 7
Agora, fazemos o mesmo para os outros elementos da primeira linha. O próximo elemento é 4, na posição (1,2):
C12 = (-1)^1+2 times det 6 & 5 & 7 -1 & 2 & 4 0 & 2 & 4
O sinal aqui é negativo porque .
Passo 8
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
det 6 & 5 & 7 -1 & 2 & 4 0 & 2 & 4 = 6 times (2 times 4 - 4 times 2) - 5 times (-1 times 4 - 4 times 0) + 7 times (-1 times 2 - 2 times 0)
Simplificando:
6 times (8 - 8) = 6 times 0 = 0
-5 times (-4 - 0) = -5 times (-4) = 20
7 times (-2 - 0) = 7 times (-2) = -14
Somando:
0 + 20 - 14 = 6
Então, .
Passo 9
Continuando com o terceiro elemento da primeira linha, que é 1, na posição (1,3):
C13 = (-1)^1+3 times det 6 & -2 & 7 -1 & 7 & 4 0 & 3 & 4
O sinal aqui é positivo porque .
Passo 10
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
det 6 & -2 & 7 -1 & 7 & 4 0 & 3 & 4 = 6 times (7 times 4 - 4 times 3) - (-2) times (-1 times 4 - 4 times 0) + 7 times (-1 times 3 - 7 times 0)
Simplificando:
6 times (28 - 12) = 6 times 16 = 96
-(-2) times (-4 - 0) = 2 times (-4) = -8
7 times (-3 - 0) = 7 times (-3) = -21
Somando:
96 - 8 - 21 = 67
Então, .
Passo 11
Finalmente, o último elemento da primeira linha é 0, na posição (1,4):
C14 = (-1)^1+4 times det 6 & -2 & 5 -1 & 7 & 2 0 & 3 & 2
O sinal aqui é negativo porque .
Passo 12
Mas como o elemento é 0, qualquer cofactor multiplicado por ele será 0. Então, não precisamos calcular esse determinante.
Passo 13
Agora, juntando tudo, o determinante da matriz det(F) = 2 times (-24) + 4 times (-6) + 1 times 67 + 0 times (qualquer coisa) = -48 -24 + 67 + 0 = -5 é: