Estude com relação a máximos e mínimos locais cada uma das seguintes funções:
f(x, y) = x^2 + 2xy + 4y^2 - 6x - 12y

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função para descobrir onde ela tem máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar algumas ferramentas do cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando ajustamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos da função. Isso acontece quando as derivadas parciais são iguais a zero. Então, igualamos cada derivada a zero:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 6

Como o determinante é maior que zero e a segunda derivada em relação a x, que é , também é maior que zero, isso nos diz que o ponto crítico é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função tem um mínimo local no ponto . O valor mínimo da função nesse ponto é:
Portanto, o mínimo local é no ponto .

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