Estude com relação a máximos e mínimos locais cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
para descobrir onde ela tem máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar algumas ferramentas do cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando ajustamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos da função. Isso acontece quando as derivadas parciais são iguais a zero. Então, igualamos cada derivada a zero:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Passo 6
Como o determinante
é maior que zero e a segunda derivada em relação a
, que é
, também é maior que zero, isso nos diz que o ponto crítico
é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
tem um mínimo local no ponto
. O valor mínimo da função nesse ponto é:
Portanto, o mínimo local é
no ponto
.