Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função
e da função
, onde
é uma constante?
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado da questão pede para entender como os coeficientes de Fourier de uma função
se relacionam com os coeficientes da função
, onde
é uma constante. Basicamente, vamos explorar como adicionar uma constante a uma função afeta sua representação em uma série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os coeficientes de Fourier. Eles são números que a gente usa para escrever uma função periódica como a soma de senos e cossenos. A série de Fourier geral de uma função
pode ser escrita assim:
Aqui,
é o termo constante (média da função), e
e
são os coeficientes que multiplicam os cossenos e senos, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Isso significa que estamos adicionando uma constante
à nossa função original
. O que isso faz na série de Fourier?
Quando adicionamos uma constante a uma função, essa constante só afeta o termo constante
da série de Fourier. Os termos que multiplicam os senos e cossenos (
e
) não mudam, porque uma constante não altera a forma oscilatória da função.
Passo 4
Então, se
tem coeficientes de Fourier
,
e
, a função
terá novos coeficientes:
Resposta
Ao adicionar uma constante
à função
, apenas o coeficiente constante
é alterado, ficando
. Os demais coeficientes
e
permanecem iguais, ou seja,
e
para todo
.