Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função f(x) e da função g(x) = f(x) + alfa, onde alpha é uma constante?

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado da questão pede para entender como os coeficientes de Fourier de uma função se relacionam com os coeficientes da função , onde é uma constante. Basicamente, vamos explorar como adicionar uma constante a uma função afeta sua representação em uma série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os coeficientes de Fourier. Eles são números que a gente usa para escrever uma função periódica como a soma de senos e cossenos. A série de Fourier geral de uma função pode ser escrita assim:
Aqui, é o termo constante (média da função), e e são os coeficientes que multiplicam os cossenos e senos, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Isso significa que estamos adicionando uma constante à nossa função original . O que isso faz na série de Fourier?
Quando adicionamos uma constante a uma função, essa constante só afeta o termo constante da série de Fourier. Os termos que multiplicam os senos e cossenos ( e ) não mudam, porque uma constante não altera a forma oscilatória da função.

Passo 4

Então, se tem coeficientes de Fourier , e , a função terá novos coeficientes:

Resposta

Ao adicionar uma constante à função , apenas o coeficiente constante é alterado, ficando . Os demais coeficientes e permanecem iguais, ou seja, e para todo .

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