Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função f(x), periódica de período 2 L, e da função g(x) = f(x + alpha), onde alpha é uma constante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre as relações entre os coeficientes de Fourier de uma função , que é periódica com período , e de outra função , onde é uma constante. Vamos precisar entender o que são coeficientes de Fourier e como uma translação (deslocamento) na função afeta esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, os coeficientes de Fourier são números que aparecem na decomposição de uma função periódica em uma soma de senos e cossenos. Essencialmente, eles descrevem as diferentes “frequências” que compõem a função original.

Passo 3

Quando a função é deslocada horizontalmente por uma constante , formando , isso afeta os coeficientes de Fourier de uma maneira específica. Essa translação introduz uma fase adicional nos coeficientes.

Passo 4

Matematicamente, os novos coeficientes de Fourier de são relacionados aos de multiplicando-os por , onde é o índice do coeficiente e é a frequência fundamental.

Passo 5

Se considerarmos coeficientes reais, isso significa que cada coeficiente e de será transformado da seguinte forma para :

Resposta

Os coeficientes de Fourier da função são obtidos multiplicando-se os coeficientes de por . Para coeficientes reais, isso se traduz em:

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