Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função
, periódica de período
, e da função
, onde
é uma constante?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre as relações entre os coeficientes de Fourier de uma função
, que é periódica com período
, e de outra função
, onde
é uma constante. Vamos precisar entender o que são coeficientes de Fourier e como uma translação (deslocamento) na função afeta esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, os coeficientes de Fourier são números que aparecem na decomposição de uma função periódica em uma soma de senos e cossenos. Essencialmente, eles descrevem as diferentes “frequências” que compõem a função original.
Passo 3
Quando a função
é deslocada horizontalmente por uma constante
, formando
, isso afeta os coeficientes de Fourier de uma maneira específica. Essa translação introduz uma fase adicional nos coeficientes.
Passo 4
Matematicamente, os novos coeficientes de Fourier de
são relacionados aos de
multiplicando-os por
, onde
é o índice do coeficiente e
é a frequência fundamental.
Passo 5
Se considerarmos coeficientes reais, isso significa que cada coeficiente
e
de
será transformado da seguinte forma para
:
Resposta
Os coeficientes de Fourier da função
são obtidos multiplicando-se os coeficientes de
por
. Para coeficientes reais, isso se traduz em: