Estude o sinal das funções definidas em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais ( ). O objetivo é determinar onde essa função é positiva (acima do eixo x) e onde é negativa (abaixo do eixo x). Para isso, vamos precisar analisar os zeros da função e o comportamento do seu gráfico, que é uma parábola.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde . Isso significa resolver a equação quadrática:

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula para encontrar as raízes de é:
Aqui, , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 5

Calculando as duas soluções:
Então, as raízes são e . Isso significa que a parábola cruza o eixo x nesses pontos.

Passo 6

Agora, sabemos que a função é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo ( ). Portanto, o gráfico da função terá um ponto de mínimo entre as raízes.

Passo 7

Vamos determinar os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa. Sabemos que entre as raízes ( ), a função estará abaixo do eixo x (negativa) e fora desse intervalo ( ou ), a função estará acima do eixo x (positiva).

Passo 8

Para confirmar, podemos escolher valores de em cada intervalo e substituir na função:
  • Para , por exemplo, :
    Positivo.
  • Para , por exemplo, :
    Negativo.
  • Para , por exemplo, :
    Positivo.

Resposta

A função é positiva para e , e negativa para .

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