Estude o sinal das funções definidas em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais (
). O objetivo é determinar onde essa função é positiva (acima do eixo x) e onde é negativa (abaixo do eixo x). Para isso, vamos precisar analisar os zeros da função e o comportamento do seu gráfico, que é uma parábola.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde
. Isso significa resolver a equação quadrática:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula para encontrar as raízes de
é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Calculando as duas soluções:
Então, as raízes são
e
. Isso significa que a parábola cruza o eixo x nesses pontos.
Passo 6
Agora, sabemos que a função é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de
é positivo (
). Portanto, o gráfico da função terá um ponto de mínimo entre as raízes.
Passo 7
Vamos determinar os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa. Sabemos que entre as raízes (
), a função estará abaixo do eixo x (negativa) e fora desse intervalo (
ou
), a função estará acima do eixo x (positiva).
Passo 8
Para confirmar, podemos escolher valores de
em cada intervalo e substituir na função:
-
Para
, por exemplo, : Positivo. -
Para
, por exemplo, : Negativo. -
Para
, por exemplo, : Positivo.
Resposta
A função
é positiva para
e
, e negativa para
.
Exercícios relacionados
Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta
.
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em
.
Resolva as inequações em
:
A função peso total P.