Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o retângulo de área máxima que está no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos x e y, e um dos vértices na reta . Vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo para resolver isso. Precisaremos entender como expressar a área do retângulo em função de uma variável e depois encontrar o valor que maximiza essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar mentalmente o cenário. Temos um retângulo no primeiro quadrante, então todos os lados são positivos. Dois lados estão nos eixos, então um canto está na origem (0,0). Outro vértice está na reta . Vamos chamar as coordenadas desse ponto de .

Passo 3

Como o vértice está na reta , podemos substituir por . Assim, o ponto que está na reta tem coordenadas . Os lados do retângulo ao longo dos eixos serão e , então a área do retângulo é:

Passo 4

Substituindo na fórmula da área pela expressão da reta, temos:
Agora, temos a área em função de .

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, precisamos derivar a função em relação a e encontrar onde a derivada é zero (pontos críticos). A derivada nos mostra a taxa de variação da área conforme muda.
Derivando :

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 7

Com , vamos encontrar usando a equação da reta:

Passo 8

Agora que temos e , podemos calcular a área máxima:

Resposta

O retângulo de área máxima tem lados com e , resultando em uma área máxima de unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .
Para a equação de raízes e usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Estude o sinal das funções definidas em .
Resolva as inequações em :