Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o retângulo de área máxima que está no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos x e y, e um dos vértices na reta
. Vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo para resolver isso. Precisaremos entender como expressar a área do retângulo em função de uma variável e depois encontrar o valor que maximiza essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar mentalmente o cenário. Temos um retângulo no primeiro quadrante, então todos os lados são positivos. Dois lados estão nos eixos, então um canto está na origem (0,0). Outro vértice está na reta
. Vamos chamar as coordenadas desse ponto de
.
Passo 3
Como o vértice está na reta
, podemos substituir
por
. Assim, o ponto que está na reta tem coordenadas
. Os lados do retângulo ao longo dos eixos serão
e
, então a área
do retângulo é:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área pela expressão da reta, temos:
Agora, temos a área em função de
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde a derivada é zero (pontos críticos). A derivada nos mostra a taxa de variação da área conforme
muda.
Derivando
:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
, vamos encontrar
usando a equação da reta:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos calcular a área máxima:
Resposta
O retângulo de área máxima tem lados com
e
, resultando em uma área máxima de
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em
.
Para a equação
de raízes
e
usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Estude o sinal das funções definidas em
.
Resolva as inequações em
: