Estude o sinal das seguintes expressões, indicando para quais valores de
são positivas, negativas, zero ou não definidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar onde a expressão
é positiva, negativa, igual a zero ou indefinida, para qualquer número real
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de análise de sinais de funções racionais, que envolve olhar os valores que fazem o numerador ou o denominador se anularem, além de entender como esses valores dividem a reta numérica em intervalos para testar os sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a expressão pode mudar de sinal. Isso acontece quando o numerador ou o denominador é igual a zero, pois esses pontos podem ser onde a função cruza o eixo ou não está definida.
- Numerador (
): Igual a zero quando . - Denominador (
): Igual a zero quando .
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos. Os intervalos são:
Em cada intervalo, vamos testar um valor para ver se a expressão
é positiva ou negativa.
Passo 4
Vamos escolher valores de teste para cada intervalo:
-
Intervalo
: Vamos testar . -
(Positivo)
-
-
Intervalo
: Vamos testar . -
(Negativo)
-
-
Intervalo
: Vamos testar . -
(Positivo)
-
Passo 5
Também precisamos considerar os pontos onde a expressão pode ser zero ou indefinida:
- Quando
: O numerador é zero, então a expressão vale . - Quando
: O denominador é zero, o que torna a expressão indefinida nesse ponto.
Resposta
A expressão
é:
- Positiva para
e ; - Negativa para
; - Igual a zero quando
; - Indefinida quando
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações e ilustre as soluções na reta real.
Dada
, calcule :
Estude o sinal das seguintes expressões, indicando para quais valores de
são positivas, negativas, zero ou não definidas.