Estude o sinal das seguintes expressões, indicando para quais valores de x em R são positivas, negativas, zero ou não definidas.
(x-1)/(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar onde a expressão (x-1)/(x-2) é positiva, negativa, igual a zero ou indefinida, para qualquer número real x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de análise de sinais de funções racionais, que envolve olhar os valores que fazem o numerador ou o denominador se anularem, além de entender como esses valores dividem a reta numérica em intervalos para testar os sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a expressão pode mudar de sinal. Isso acontece quando o numerador ou o denominador é igual a zero, pois esses pontos podem ser onde a função cruza o eixo ou não está definida.
  • Numerador ( x - 1): Igual a zero quando x = 1.
  • Denominador ( x - 2): Igual a zero quando x = 2.
Então, temos dois pontos críticos: x = 1 e x = 2.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos. Os intervalos são:
  1. x > 2
Em cada intervalo, vamos testar um valor para ver se a expressão (x-1)/(x-2) é positiva ou negativa.

Passo 4

Vamos escolher valores de teste para cada intervalo:
  1. Intervalo : Vamos testar x = 0.
    • (Positivo)
  2. Intervalo : Vamos testar .
    • (Negativo)
  3. Intervalo x > 2: Vamos testar .
    • (Positivo)

Passo 5

Também precisamos considerar os pontos onde a expressão pode ser zero ou indefinida:
  • Quando x = 1: O numerador é zero, então a expressão vale .
  • Quando x = 2: O denominador é zero, o que torna a expressão indefinida nesse ponto.

Resposta

A expressão (x-1)/(x-2) é:
  • Positiva para e ;
  • Negativa para ;
  • Igual a zero quando x = 1;
  • Indefinida quando x = 2.

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|x + 1| = 3
integral0^1 1raiz[4]1+x d x
Dada f(x, y) = 3x + y, calcule :
f(-1, 2)
Estude o sinal das seguintes expressões, indicando para quais valores de x em R são positivas, negativas, zero ou não definidas.
(2-3x)/(x+2)