integral0^1 1raiz[4]1+x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a integral definida:
integral0^1 1raiz[4]1+x , dx
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quarta de raiz[4]1+x = (1 + x)^14 pode ser escrita como uma potência:
1raiz[4]1+x = (1 + x)^-14
Então, o integrando fica:

Passo 3

Agora, temos que integrar:
integral0^1 (1 + x)^-14 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos definir uma nova variável u = 1 + x :
dudx = 1 Rightarrow du = dx
Dessa forma, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos mudar os limites de integração para a variável u = 1 + 0 = 1 :
  • Quando u = 1 + 1 = 2 :
    integral1^2 u^-14 , du
  • Quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra para integrar integral u^-14 , du = u^3434 + C = 43 u^34 + C é:
Aplicando isso aqui, com :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ 43 u^34 ]1^2 = 43 (2^34 - 1^34)
Como 43 (2^34 - 1) , simplificamos para:

Resposta

A integral avaliada é:
43 (2^34 - 1)

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