Em um estudo para determinar a natureza do sistema de resposta que relaciona módulo de ruptura (psi) de um material cerâmico com 3 importantes variáveis independentes, o seguinte modelo foi ajustado:
As variáveis independentes representam razões de concentração de vários componentes no material.
i) Determinar o ponto estacionário
ii) Desenvolver uma análise canônica e determinar a natureza do ponto estacionário
iii) Achar as equações de recorrência relacionando as variáveis canônicas com as 3 variáveis independentes
e
.
As variáveis independentes representam razões de concentração de vários componentes no material.
i) Determinar o ponto estacionário
ii) Desenvolver uma análise canônica e determinar a natureza do ponto estacionário
iii) Achar as equações de recorrência relacionando as variáveis canônicas com as 3 variáveis independentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um modelo que relaciona o módulo de ruptura de um material cerâmico com três variáveis independentes, chamadas
,
e
. O objetivo aqui é encontrar o ponto estacionário desse modelo, que é basicamente o ponto onde o modelo atinge um valor máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para isso, vamos precisar de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais, já que temos várias variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do modelo de forma mais clara:
Para encontrar o ponto estacionário, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável (
,
,
) e igualar a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
que correspondem ao ponto estacionário.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações (pode-se usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes), encontramos:
Após os cálculos, obtemos:
Resposta
O ponto estacionário do modelo ocorre aproximadamente em
,
e
.