Em um estudo para determinar a natureza do sistema de resposta que relaciona módulo de ruptura (psi) de um material cerâmico com 3 importantes variáveis independentes, o seguinte modelo foi ajustado:

As variáveis independentes representam razões de concentração de vários componentes no material.
i) Determinar o ponto estacionário
ii) Desenvolver uma análise canônica e determinar a natureza do ponto estacionário
iii) Achar as equações de recorrência relacionando as variáveis canônicas com as 3 variáveis independentes e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um modelo que relaciona o módulo de ruptura de um material cerâmico com três variáveis independentes, chamadas , e . O objetivo aqui é encontrar o ponto estacionário desse modelo, que é basicamente o ponto onde o modelo atinge um valor máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para isso, vamos precisar de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais, já que temos várias variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do modelo de forma mais clara:
Para encontrar o ponto estacionário, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável ( , , ) e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que correspondem ao ponto estacionário.

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações (pode-se usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes), encontramos:
Após os cálculos, obtemos:

Resposta

O ponto estacionário do modelo ocorre aproximadamente em , e .

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