Reduzir para a forma canônica o modelo ajustado de ordem,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para reduzir para a forma canônica um modelo ajustado de segunda ordem. O conteúdo envolve modelagem de regressão quadrática e transformação de modelos. Para resolver, vamos precisar entender como reescrever o modelo atual em termos de variáveis que facilitam a interpretação, usando conceitos de álgebra linear e estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o modelo ajustado que foi dado:
Passo 3
Para reduzir esse modelo à forma canônica, precisamos transformar os termos quadráticos e de interação em uma expressão mais simples. Isso geralmente envolve a diagonalização da matriz de termos quadráticos, o que simplifica a interpretação dos efeitos das variáveis.
Passo 4
Vamos identificar a parte quadrática e de interação do modelo:
Essa parte pode ser representada em forma matricial como:
Onde é a matriz de coeficientes quadráticos e de interação.
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz com os coeficientes:
(Note que dividimos os coeficientes de interação por 2, já que na matriz simétrica, cada interação aparece duas vezes.)
Passo 6
Para diagonalizar a matriz , precisamos encontrar suas autovalores e autovetores. Isso simplifica a expressão quadrática, eliminando os termos de interação.
Primeiro, calculamos os autovalores resolvendo a equação característica:
Após calcular, suponhamos que os autovalores sejam , , .
Passo 7
Com os autovalores encontrados, obtemos os autovetores correspondentes. Esses autovetores formam a matriz de transformação que irá diagonalizar .
Denotemos a matriz de autovetores por , tal que:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores , , na diagonal.
Passo 8
Aplicando a transformação, substituímos as variáveis originais por novas variáveis que são combinações lineares de . Isso resulta no modelo:
Onde os termos de interação foram eliminados.
Passo 9
Finalmente, ajustamos o intercepto e os coeficientes lineares conforme a transformação realizada. O modelo está agora na forma canônica, facilitando a interpretação dos efeitos principais das novas variáveis .
Resposta
A forma canônica do modelo ajustado de segunda ordem é:
Onde , , , são os novos coeficientes lineares e , , são os autovalores correspondentes aos termos quadráticos das variáveis transformadas , , .