Reduzir para a forma canônica o modelo ajustado de ordem,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para reduzir para a forma canônica um modelo ajustado de segunda ordem. O conteúdo envolve modelagem de regressão quadrática e transformação de modelos. Para resolver, vamos precisar entender como reescrever o modelo atual em termos de variáveis que facilitam a interpretação, usando conceitos de álgebra linear e estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o modelo ajustado que foi dado:

Passo 3

Para reduzir esse modelo à forma canônica, precisamos transformar os termos quadráticos e de interação em uma expressão mais simples. Isso geralmente envolve a diagonalização da matriz de termos quadráticos, o que simplifica a interpretação dos efeitos das variáveis.

Passo 4

Vamos identificar a parte quadrática e de interação do modelo:
Essa parte pode ser representada em forma matricial como:
Onde é a matriz de coeficientes quadráticos e de interação.

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz com os coeficientes:
(Note que dividimos os coeficientes de interação por 2, já que na matriz simétrica, cada interação aparece duas vezes.)

Passo 6

Para diagonalizar a matriz , precisamos encontrar suas autovalores e autovetores. Isso simplifica a expressão quadrática, eliminando os termos de interação.
Primeiro, calculamos os autovalores resolvendo a equação característica:
Após calcular, suponhamos que os autovalores sejam , , .

Passo 7

Com os autovalores encontrados, obtemos os autovetores correspondentes. Esses autovetores formam a matriz de transformação que irá diagonalizar .
Denotemos a matriz de autovetores por , tal que:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores , , na diagonal.

Passo 8

Aplicando a transformação, substituímos as variáveis originais por novas variáveis que são combinações lineares de . Isso resulta no modelo:
Onde os termos de interação foram eliminados.

Passo 9

Finalmente, ajustamos o intercepto e os coeficientes lineares conforme a transformação realizada. O modelo está agora na forma canônica, facilitando a interpretação dos efeitos principais das novas variáveis .

Resposta

A forma canônica do modelo ajustado de segunda ordem é:
Onde , , , são os novos coeficientes lineares e , , são os autovalores correspondentes aos termos quadráticos das variáveis transformadas , , .

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