Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) Todas serem boas?

Passo 1

Resumo do Problema:
Temos um lote com 60 lâmpadas, das quais 50 estão boas e 10 estão defeituosas. Queremos saber qual a probabilidade de, ao escolhermos 5 lâmpadas ao acaso, todas elas serem boas.
Conteúdo da Matéria:
Vamos abordar conceitos de probabilidade e combinatória, especificamente o cálculo de combinações.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender o que são combinações.
  • Saber calcular o número de combinações possíveis.
  • Aplicar a fórmula de probabilidade usando combinações.

Passo 2

Entendendo Combinações:
Combinação é uma forma de selecionar itens de um conjunto sem se preocupar com a ordem. A fórmula para calcular o número de combinações de n elementos tomados de k em k é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde ! representa o fatorial, ou seja, o produto de todos os inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Calculando o Número Total de Combinações:
Primeiro, vamos calcular quantas maneiras diferentes podemos escolher 5 lâmpadas de um total de 60. Usando a fórmula das combinações:
C(60, 5) = 60!5!(60 - 5)! = 60!5! times 55!

Passo 4

Calculando as Combinações Favoráveis:
Agora, queremos apenas as combinações onde todas as 5 lâmpadas escolhidas são boas. Como temos 50 lâmpadas boas, o número de maneiras de escolher 5 boas é:
C(50, 5) = 50!5!(50 - 5)! = 50!5! times 45!

Passo 5

Calculando a Probabilidade:
A probabilidade de todas as 5 lâmpadas serem boas é a razão entre o número de combinações favoráveis e o número total de combinações possíveis:
P = C(50, 5)C(60, 5) = 50!5! times 45!60!5! times 55! = 50! times 55!60! times 45!
Simplificando os fatoriais e calculando o valor numérico:
P approx 2.11876 times 10^65.4615 times 10^6 approx 0.388

Resposta

A probabilidade de que todas as 5 lâmpadas escolhidas sejam boas é aproximadamente 38,8%.

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