Em um estudo o número de anômalias detectadas por folha para uma determinada planta tem uma distribuição de Poisson com lambda=0,2.
(a) Qual o número de anômalias esperados por folha testada?
(b) Qual a porcentagem de folhas testadas que têm duas ou mais anômalias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre distribuição de Poisson, que é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. No caso, estamos falando do número de anômalias detectadas por folha em uma planta, com uma média ( lambda) de 0,2 anomalias por folha. Precisamos resolver duas partes:
(a) Encontrar o número esperado de anomalias por folha testada.
(b) Determinar a porcentagem de folhas que têm duas ou mais anomalias.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): qual o número de anômalias esperados por folha testada?
A distribuição de Poisson nos dá exatamente isso: o valor esperado é igual a lambda. Então, se lambda = 0,2, basta usar esse valor diretamente.

Passo 3

Agora, para a parte (b): qual a porcentagem de folhas testadas que têm duas ou mais anomalias?
Aqui, queremos a probabilidade de uma folha ter 2 ou mais anomalias. Como a distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de ter exatamente k anomalias, podemos somar as probabilidades para k = 2, 3, 4, dots.
Mas é mais fácil calcular 1 menos a probabilidade de ter menos de 2 anomalias, ou seja, 0 ou 1 anomalia.

Passo 4

Vamos calcular isso usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k) = lambda^k e^-lambdak!
Para k = 0:
P(0) = 0,2^0 e^-0,20! = e^-0,2
Para k = 1:
P(1) = 0,2^1 e^-0,21! = 0,2 e^-0,2

Passo 5

Agora, somamos essas duas probabilidades:
P(k < 2) = P(0) + P(1) = e^-0,2 + 0,2 e^-0,2 = e^-0,2(1 + 0,2)
Calculando isso, vamos encontrar a probabilidade de ter menos de 2 anomalias.

Passo 6

Finalmente, a probabilidade de ter 2 ou mais anomalias é:
P(k >= 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - e^-0,2(1 + 0,2)
Vamos calcular esse valor para encontrar a porcentagem desejada.

Resposta

(a) O número de anômalias esperadas por folha testada é 0,2.
(b) A porcentagem de folhas testadas que têm duas ou mais anomalias é aproximadamente 16,5%.

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