Em procedimentos de inseminação artificial em vacas leiteiras o insucesso ocorre em 40 % das tentativas. Suponha que os eventos em que as tentativas são realizadas sejam independentes. Considere que 10 tentativas aconteçam: Qual a probabilidade de que para exatamente três tentativas fracassem?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Estamos lidando com um procedimento de inseminação artificial em vacas leiteiras onde há uma chance de 40% de insucesso em cada tentativa. Queremos saber a probabilidade de, em 10 tentativas independentes, exatamente 3 delas resultarem em insucesso. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Probabilidade Binomial.

Passo 2

A probabilidade binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou insucesso), e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos. A fórmula é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
onde:
  • é a probabilidade de exatamente sucessos,
  • é a combinação de elementos tomados a ,
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa,
  • é o número total de tentativas.

Passo 3

No nosso caso:
  • (total de tentativas),
  • (tentativas que queremos que fracassem),
  • (probabilidade de insucesso em uma tentativa).

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a combinação C(10, 3) = 10!3! times (10 - 3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120 :

Passo 5

Agora, calculamos 0.4^3 = 0.064 :

Passo 6

Em seguida, calculamos 0.6^7 approx 0.0279936 :

Passo 7

Multiplicamos todos os valores obtidos:
P(3) = 120 times 0.064 times 0.0279936 approx 0.21504

Resposta

A probabilidade de que exatamente três das 10 tentativas de inseminação artificial falhem é de aproximadamente 21,5%.

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