Suponha que f(x)=e^-x, para x>0. Determine as seguintes probabilidades: P(1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a probabilidade de que a variável aleatória esteja entre 1 e 2,5, ou seja, . Estamos trabalhando com uma função de densidade de probabilidade para , que é típica da distribuição exponencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a probabilidade de P(1 < X < 2,5) = integral1^2,5 e^-x , dx estar entre dois valores em uma distribuição contínua, a gente integra a função de densidade nesse intervalo. Então, queremos calcular:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de integral e^-x , dx = -e^-x + C em relação a é:
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de 1 a 2,5.

Passo 4

Aplicando os limites, temos:
[ -e^-x ]1^2,5 = -e^-2,5 - (-e^-1) = e^-1 - e^-2,5

Passo 5

Vamos calcular os valores numéricos:
e^-1 approx 0,3679
e^-2,5 approx 0,0821
Substituindo na expressão:
0,3679 - 0,0821 = 0,2858

Resposta

A probabilidade de estar entre 1 e 2,5 é aproximadamente 0,286, ou 28,6%.

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