O estudo dos pontos críticos de uma função é imprescindível quando desejamos identificar valores máximos ou mínimos locais, mas desde que essa função seja diferenciável, permitindo a aplicação dos testes e a obtenção de conclusões que permitam a resolução dos problemas associados. Diante desse contexto, seja a seguinte função real: f x = a x e b x em que a e b são constantes reais. Quais devem ser os valores assumidos pelas constantes a e b de tal forma que f - 1 = - 1 e que f tenha um valor mínimo local em x = - 1?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes $ a $ e $ b $ na função $ f(x) = a \cdot x \cdot e^{b x} $ de maneira que duas condições sejam satisfeitas:
  1. Quando $ x = -1 $, o valor da função $ f(-1) $ seja igual a a .
  2. A função tenha um valor mínimo local em $ x = -1 $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e pontos críticos. Vamos precisar calcular a função, sua primeira e segunda derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a primeira condição: $ f(-1) = -1 $.
Substituindo $ x = -1 $ na função:
f(-1) = -1
Queremos que isso seja igual a x = -1 :
f(-1) = a cdot (-1) cdot e^b cdot (-1) = -a cdot e^-b
Simplificando:
-1
Isso nos dá uma relação entre $ a $ e $ b $:
-a cdot e^-b = -1 çã

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição: $ x = -1 $ é um ponto de mínimo local. Para isso, precisamos que a primeira derivada $ f’(x) $ seja zero em $ x = -1 $ e que a segunda derivada $ f’’(x) $ seja positiva em $ x = -1 $.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $.
A função é:
x = -1
Para derivar isso, usamos a regra do produto:
f'(x)
x = -1
Agora, vamos substituir $ x = -1 $ e igualar a zero:
f''(x)
Como $ a \cdot e^{-b} \neq 0 $ (já que $ a = e^{b} $ e $ e^{b} > 0 $), temos:
x = -1
f'(x)

Passo 4

Agora que encontramos $ b = 1 $, vamos voltar à Equação 1 para encontrar $ a $:
b = 1
Então, $ a = e $ e $ b = 1 $.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a segunda condição para garantir que $ x = -1 $ seja realmente um ponto de mínimo.
Vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $.
Começamos com a primeira derivada:
x = -1
Derivando novamente:
f''(x)
f'(x) = a cdot e^b x (1 + b x)
f''(x) = a cdot b cdot e^b x (1 + b x) + a cdot e^b x cdot b
Substituindo $ x = -1 $ e os valores encontrados:
f''(x) = a cdot b cdot e^b x (1 + b x + 1)
f''(x) = a cdot b cdot e^b x (2 + b x)
x = -1
Como $ f’’(-1) = 1 > 0 $, realmente temos um mínimo local em $ x = -1 $.

Resposta

Os valores das constantes são:
a = e
b = 1

Exercícios relacionados