O estudo dos pontos críticos de uma função é imprescindível quando desejamos identificar valores máximos ou mínimos locais, mas desde que essa função seja diferenciável, permitindo a aplicação dos testes e a obtenção de conclusões que permitam a resolução dos problemas associados. Diante desse contexto, seja a seguinte função real: f x = a x e b x em que a e b são constantes reais. Quais devem ser os valores assumidos pelas constantes a e b de tal forma que f - 1 = - 1 e que f tenha um valor mínimo local em x = - 1?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes $ a $ e $ b $ na função $ f(x) = a \cdot x \cdot e^{b x} $ de maneira que duas condições sejam satisfeitas:
- Quando $ x = -1 $, o valor da função $ f(-1) $ seja igual a
. - A função tenha um valor mínimo local em $ x = -1 $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e pontos críticos. Vamos precisar calcular a função, sua primeira e segunda derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a primeira condição: $ f(-1) = -1 $.
Substituindo $ x = -1 $ na função:
Queremos que isso seja igual a
:
Simplificando:
Isso nos dá uma relação entre $ a $ e $ b $:
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda condição: $ x = -1 $ é um ponto de mínimo local. Para isso, precisamos que a primeira derivada $ f’(x) $ seja zero em $ x = -1 $ e que a segunda derivada $ f’’(x) $ seja positiva em $ x = -1 $.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $.
A função é:
Para derivar isso, usamos a regra do produto:
Agora, vamos substituir $ x = -1 $ e igualar a zero:
Como $ a \cdot e^{-b} \neq 0 $ (já que $ a = e^{b} $ e $ e^{b} > 0 $), temos:
Passo 4
Agora que encontramos $ b = 1 $, vamos voltar à Equação 1 para encontrar $ a $:
Então, $ a = e $ e $ b = 1 $.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a segunda condição para garantir que $ x = -1 $ seja realmente um ponto de mínimo.
Vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $.
Começamos com a primeira derivada:
Derivando novamente:
Substituindo $ x = -1 $ e os valores encontrados:
Como $ f’’(-1) = 1 > 0 $, realmente temos um mínimo local em $ x = -1 $.
Resposta
Os valores das constantes são: