On étudie le moteur dune machine industrielle.
On note
la tension à ses bornes et
le courant qui lalimente.
Le réseau électrique est tel que que :
On rappelle quEDF impose à ses clients une valeur minimum du facteur de puissance de 0,93 (si cette limite est franchie, en particulier pour les installations industrielles, lentreprise facture des amendes relativement importantes).
On note
Le réseau électrique est tel que que :
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente está analisando o motor de uma máquina industrial, onde a tensão nas suas extremidades é dada por $ u(t) = 300\sqrt{2} \sin(\omega t) $ e a corrente que o alimenta é $ i(t) = 1\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi) $. Além disso, a empresa de energia (EDF) exige que o fator de potência seja pelo menos 0,93. Se não cumprirmos isso, a empresa vai cobrar multas bem pesadas. Então, nosso objetivo aqui é entender como calcular o fator de potência dessa máquina e verificar se ela está dentro do limite exigido pela EDF.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de potência. O fator de potência (FP) é uma medida de quão eficientemente a energia elétrica está sendo usada. Ele é definido como o cosseno do ângulo de fase ($ \phi $) entre a tensão e a corrente. Matematicamente, fica assim:
Um fator de potência próximo de 1 significa que a energia está sendo usada de forma eficiente. Se o FP for menor, significa que há mais energia reativa envolvida, o que pode causar perdas e aumentar os custos.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
- A tensão $ u(t) = 300\sqrt{2} \sin(\omega t) $. O fator $ \sqrt{2} $ aqui indica que estamos trabalhando com valores de pico, já que o valor eficaz (RMS) de uma onda senoidal é o valor de pico dividido por $ \sqrt{2} $. Então, a tensão eficaz é:
- A corrente $ i(t) = 1\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi) $. Similarmente, o valor eficaz da corrente é:
Passo 4
Como o fator de potência é $ \cos(\phi) $, precisamos descobrir qual é o ângulo $ \phi $ para garantir que $ \cos(\phi) \geq 0,93 $. Isso significa que queremos encontrar o valor máximo de $ \phi $ que ainda mantém o fator de potência dentro do limite permitido.
Então, nosso objetivo é resolver a inequação:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ \phi
\arccos $):
Vamos calcular isso:
Passo 6
Isso significa que o ângulo de fase $ \phi $ entre a tensão e a corrente deve ser no máximo de aproximadamente 21,8 graus para que o fator de potência seja igual ou maior que 0,93. Se o ângulo $ \phi $ for maior que isso, o fator de potência cairá abaixo do limite exigido pela EDF, resultando em multas para a empresa.
Resposta
O ângulo de fase $ \phi $ deve ser no máximo de aproximadamente $ 21,8^\circ $ para que o fator de potência seja igual ou maior que 0,93, atendendo assim aos requisitos da EDF.