On étudie le moteur dune machine industrielle.
On note u(t) la tension à ses bornes et i(t) le courant qui lalimente.
Le réseau électrique est tel que que :
l u(t)=300 raiz2 sin (omega t) et i(t)=I max sin (omega t+phi)=1 raiz2 sin (omega t+phi) u(t) que que:
On rappelle quEDF impose à ses clients une valeur minimum du facteur de puissance de 0,93 (si cette limite est franchie, en particulier pour les installations industrielles, lentreprise facture des amendes relativement importantes).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente está analisando o motor de uma máquina industrial, onde a tensão nas suas extremidades é dada por $ u(t) = 300\sqrt{2} \sin(\omega t) $ e a corrente que o alimenta é $ i(t) = 1\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi) $. Além disso, a empresa de energia (EDF) exige que o fator de potência seja pelo menos 0,93. Se não cumprirmos isso, a empresa vai cobrar multas bem pesadas. Então, nosso objetivo aqui é entender como calcular o fator de potência dessa máquina e verificar se ela está dentro do limite exigido pela EDF.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de potência. O fator de potência (FP) é uma medida de quão eficientemente a energia elétrica está sendo usada. Ele é definido como o cosseno do ângulo de fase ($ \phi $) entre a tensão e a corrente. Matematicamente, fica assim:
phi
Um fator de potência próximo de 1 significa que a energia está sendo usada de forma eficiente. Se o FP for menor, significa que há mais energia reativa envolvida, o que pode causar perdas e aumentar os custos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • A tensão $ u(t) = 300\sqrt{2} \sin(\omega t) $. O fator $ \sqrt{2} $ aqui indica que estamos trabalhando com valores de pico, já que o valor eficaz (RMS) de uma onda senoidal é o valor de pico dividido por $ \sqrt{2} $. Então, a tensão eficaz é:
u(t) = 300raiz2 sin(omega t)
  • A corrente $ i(t) = 1\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi) $. Similarmente, o valor eficaz da corrente é:
raiz2

Passo 4

Como o fator de potência é $ \cos(\phi) $, precisamos descobrir qual é o ângulo $ \phi $ para garantir que $ \cos(\phi) \geq 0,93 $. Isso significa que queremos encontrar o valor máximo de $ \phi $ que ainda mantém o fator de potência dentro do limite permitido.
Então, nosso objetivo é resolver a inequação:
cos(phi)

Passo 5

Para encontrar o valor de $ \phi phi çãé \arccos $):
arccos
Vamos calcular isso:
phi <= arccos(0,93)

Passo 6

Isso significa que o ângulo de fase $ \phi $ entre a tensão e a corrente deve ser no máximo de aproximadamente 21,8 graus para que o fator de potência seja igual ou maior que 0,93. Se o ângulo $ \phi $ for maior que isso, o fator de potência cairá abaixo do limite exigido pela EDF, resultando em multas para a empresa.

Resposta

O ângulo de fase $ \phi $ deve ser no máximo de aproximadamente $ 21,8^\circ $ para que o fator de potência seja igual ou maior que 0,93, atendendo assim aos requisitos da EDF.

Exercícios relacionados