Um exame consiste de três testes específicos. Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro testes funcionarem corretamente sejam iguais a 0, e 0,99 . Considere que os testes sejam independentes. Determine a função de probabilidade do número de testes do exame que funcionam corretamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um exame que tem três testes diferentes. Cada teste tem uma certa chance de funcionar direitinho:
Primeiro teste: 95% de chance de funcionar corretamente.
Segundo teste: 98% de chance.
Terceiro teste: 99% de chance.
A gente também sabe que esses testes são independentes, ou seja, o sucesso de um não afeta o sucesso dos outros. Nosso objetivo aqui é descobrir a função de probabilidade que diz quantos desses testes vão funcionar corretamente no exame. Isso significa que queremos saber a probabilidade de 0, 1, 2 ou 3 testes funcionarem bem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada teste funcionar ou não. Como são três testes, cada um pode dar certo (sucesso) ou errado (fracasso). Como eles são independentes, a chance de um teste dar certo ou errado não muda as chances dos outros.
A função de probabilidade que a gente quer encontrar vai nos dizer a probabilidade de termos:
X = 0: Nenhum teste funcionou.
X = 1: Apenas um teste funcionou.
X = 2: Dois testes funcionaram.
X = 3: Todos os três testes funcionaram.
Passo 3
Para calcular essas probabilidades, vamos usar a ideia de probabilidade conjunta para eventos independentes. Isso significa que a probabilidade de vários eventos independentes acontecerem ao mesmo tempo é o produto das probabilidades de cada evento.
Vamos definir:
(probabilidade do primeiro teste funcionar)
E as probabilidades de cada teste não funcionar são:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada caso:
Caso 1: X = 0 (nenhum teste funciona)
Isso significa que todos os três testes falham. A probabilidade desse acontecer é:
Caso 2: X = 1 (apenas um teste funciona)
Temos três possibilidades aqui: só o primeiro, só o segundo ou só o terceiro teste funcionam.
Só o primeiro teste funciona:
Só o segundo teste funciona:
Só o terceiro teste funciona:
Somando todas as possibilidades:
Caso 3: X = 2 (dois testes funcionam)
Aqui também temos três possibilidades: primeiro e segundo funcionam, primeiro e terceiro, ou segundo e terceiro.
Primeiro e segundo funcionam:
Primeiro e terceiro funcionam:
Segundo e terceiro funcionam:
Somando todas as possibilidades:
Caso 4: X = 3 (todos os três testes funcionam)
Aqui, todos os testes dão certo:
Resposta
A função de probabilidade do número de testes que funcionam corretamente é: