Um exame consiste de três testes específicos. Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro testes funcionarem corretamente sejam iguais a 0, 95 ; 0,98 e 0,99 . Considere que os testes sejam independentes. Determine a função de probabilidade do número de testes do exame que funcionam corretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um exame que tem três testes diferentes. Cada teste tem uma certa chance de funcionar direitinho:
  • Primeiro teste: 95% de chance de funcionar corretamente.
  • Segundo teste: 98% de chance.
  • Terceiro teste: 99% de chance.
A gente também sabe que esses testes são independentes, ou seja, o sucesso de um não afeta o sucesso dos outros. Nosso objetivo aqui é descobrir a função de probabilidade que diz quantos desses testes vão funcionar corretamente no exame. Isso significa que queremos saber a probabilidade de 0, 1, 2 ou 3 testes funcionarem bem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada teste funcionar ou não. Como são três testes, cada um pode dar certo (sucesso) ou errado (fracasso). Como eles são independentes, a chance de um teste dar certo ou errado não muda as chances dos outros.
A função de probabilidade que a gente quer encontrar vai nos dizer a probabilidade de termos:
  • X = 0: Nenhum teste funcionou.
  • X = 1: Apenas um teste funcionou.
  • X = 2: Dois testes funcionaram.
  • X = 3: Todos os três testes funcionaram.

Passo 3

Para calcular essas probabilidades, vamos usar a ideia de probabilidade conjunta para eventos independentes. Isso significa que a probabilidade de vários eventos independentes acontecerem ao mesmo tempo é o produto das probabilidades de cada evento.
Vamos definir:
  • (probabilidade do primeiro teste funcionar)
E as probabilidades de cada teste não funcionar são:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada caso:

Caso 1: X = 0 (nenhum teste funciona)

Isso significa que todos os três testes falham. A probabilidade desse acontecer é:
P(X=0) = q1 times q2 times q3 = 0,05 times 0,02 times 0,01 = 0,00001

Caso 2: X = 1 (apenas um teste funciona)

Temos três possibilidades aqui: só o primeiro, só o segundo ou só o terceiro teste funcionam.
  1. Só o primeiro teste funciona:
P = p1 times q2 times q3 = 0,95 times 0,02 times 0,01 = 0,00019
  1. Só o segundo teste funciona:
P = q1 times p2 times q3 = 0,05 times 0,98 times 0,01 = 0,00049
  1. Só o terceiro teste funciona:
P = q1 times q2 times p3 = 0,05 times 0,02 times 0,99 = 0,00099
Somando todas as possibilidades:
P(X=1) = 0,00019 + 0,00049 + 0,00099 = 0,00167

Caso 3: X = 2 (dois testes funcionam)

Aqui também temos três possibilidades: primeiro e segundo funcionam, primeiro e terceiro, ou segundo e terceiro.
  1. Primeiro e segundo funcionam:
P = p1 times p2 times q3 = 0,95 times 0,98 times 0,01 = 0,00931
  1. Primeiro e terceiro funcionam:
P = p1 times q2 times p3 = 0,95 times 0,02 times 0,99 = 0,01881
  1. Segundo e terceiro funcionam:
P = q1 times p2 times p3 = 0,05 times 0,98 times 0,99 = 0,04851
Somando todas as possibilidades:
P(X=2) = 0,00931 + 0,01881 + 0,04851 = 0,07663

Caso 4: X = 3 (todos os três testes funcionam)

Aqui, todos os testes dão certo:
P(X=3) = p1 times p2 times p3 = 0,95 times 0,98 times 0,99 = 0,92169

Resposta

A função de probabilidade do número de testes que funcionam corretamente é:
P(X=0) = 0,00001 P(X=1) = 0,00167 P(X=2) = 0,07663 P(X=3) = 0,92169

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