Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que (d) o resultado esteja errado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um exame de laboratório que detecta uma doença com certas probabilidades. A gente vai calcular a chance de o resultado do exame estar errado. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados a verdadeiro positivo, falso positivo, e a prevalência da doença na população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os cenários em que o exame pode errar:
  1. Falso negativo: A pessoa tem a doença, mas o exame deu negativo.
  2. Falso positivo: A pessoa não tem a doença, mas o exame deu positivo.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos acontecer.

Passo 3

A probabilidade de uma pessoa ter a doença é de , ou seja, . Consequentemente, a probabilidade de uma pessoa não ter a doença é .

Passo 4

A probabilidade do exame dar verdadeiro positivo (a pessoa tem a doença e o exame deu positivo) é de , então . Logo, a probabilidade de dar falso negativo é .

Passo 5

A probabilidade do exame dar falso positivo (a pessoa não tem a doença, mas o exame deu positivo) é de , ou seja, . E a probabilidade de dar verdadeiro negativo é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de o resultado estar errado, que é a soma das duas situações de erro:
Substituindo os valores:

Passo 7

Fazendo as contas:

Resposta

A probabilidade de que o resultado do exame esteja errado é de aproximadamente .

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