Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que
da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que (d) o resultado esteja errado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um exame de laboratório que detecta uma doença com certas probabilidades. A gente vai calcular a chance de o resultado do exame estar errado. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados a verdadeiro positivo, falso positivo, e a prevalência da doença na população.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os cenários em que o exame pode errar:
- Falso negativo: A pessoa tem a doença, mas o exame deu negativo.
- Falso positivo: A pessoa não tem a doença, mas o exame deu positivo.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos acontecer.
Passo 3
A probabilidade de uma pessoa ter a doença é de
, ou seja,
. Consequentemente, a probabilidade de uma pessoa não ter a doença é
.
Passo 4
A probabilidade do exame dar verdadeiro positivo (a pessoa tem a doença e o exame deu positivo) é de
, então
. Logo, a probabilidade de dar falso negativo é
.
Passo 5
A probabilidade do exame dar falso positivo (a pessoa não tem a doença, mas o exame deu positivo) é de
, ou seja,
. E a probabilidade de dar verdadeiro negativo é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade de o resultado estar errado, que é a soma das duas situações de erro:
Substituindo os valores:
Passo 7
Fazendo as contas:
Resposta
A probabilidade de que o resultado do exame esteja errado é de aproximadamente
.