Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que 0,5 % da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que (d) o resultado esteja errado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um exame de laboratório que detecta uma doença com certas probabilidades. A gente vai calcular a chance de o resultado do exame estar errado. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados a verdadeiro positivo, falso positivo, e a prevalência da doença na população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os cenários em que o exame pode errar:
  1. Falso negativo: A pessoa tem a doença, mas o exame deu negativo.
  2. Falso positivo: A pessoa não tem a doença, mas o exame deu positivo.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos acontecer.

Passo 3

A probabilidade de uma pessoa ter a doença é de 0,5%, ou seja, P(D) = 0,005. Consequentemente, a probabilidade de uma pessoa não ter a doença é P(neg D) = 1 - 0,005 = 0,995.

Passo 4

A probabilidade do exame dar verdadeiro positivo (a pessoa tem a doença e o exame deu positivo) é de 0,95, então P(+|D) = 0,95. Logo, a probabilidade de dar falso negativo é P(-|D) = 1 - 0,95 = 0,05.

Passo 5

A probabilidade do exame dar falso positivo (a pessoa não tem a doença, mas o exame deu positivo) é de 0,10, ou seja, P(+|neg D) = 0,10. E a probabilidade de dar verdadeiro negativo é P(-|neg D) = 1 - 0,10 = 0,90.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de o resultado estar errado, que é a soma das duas situações de erro:
P(Erro) = P(D) times P(-|D) + P(neg D) times P(+|neg D)
Substituindo os valores:
P(Erro) = 0,005 times 0,05 + 0,995 times 0,10

Passo 7

Fazendo as contas:
P(Erro) = 0,00025 + 0,0995 = 0,09975

Resposta

A probabilidade de que o resultado do exame esteja errado é de aproximadamente 9,975%.

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