Definição 21 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita e seja T: V V um operador linear. O subespaço U subset V é dito T - invariante se T(U) subset U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma definição sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Estamos falando de um espaço vetorial real de dimensão finita, que é tipo um conjunto de vetores onde dá pra fazer soma e multiplicação por escalar. O operador linear é uma função que respeita essas operações. E a gente vai explorar o que significa um subespaço ser -invariante, ou seja, quando aplicar em não tira a gente de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores onde dá pra somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e tudo isso respeita certas regras, como a existência de um vetor zero, inversos, etc.

Passo 3

Agora, sobre o que é um operador linear . É uma função que pega um vetor de e devolve outro vetor em , de tal forma que:
  1. para todos (aditividade).
  2. para todo escalar e vetor (homogeneidade).

Passo 4

Agora, o foco é no subespaço . Um subespaço é como uma “parte” de que também é um espaço vetorial por si só. Ou seja, se você somar dois vetores de ou multiplicar um vetor de por um escalar, o resultado ainda está em .

Passo 5

A definição diz que é -invariante se, quando você aplica o operador em qualquer vetor de , o resultado ainda está dentro de . Em termos matemáticos: .

Passo 6

Vamos entender isso melhor com um exemplo. Imagina que é o plano e é a reta . Se aplicarmos uma rotação de 90 graus sobre , o vetor resultante não está mais na reta , então não seria -invariante. Mas se fosse uma escala que multiplica cada coordenada por 2, então qualquer vetor de continua na reta , tornando -invariante.

Resposta

Então, resumindo, um subespaço é -invariante se, ao aplicar o operador linear em qualquer vetor de , a gente continua dentro de . Isso é útil pra estudar como transformações agem dentro de certos subconjuntos do espaço vetorial sem “sair” deles.

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