Definição 21 Seja
um espaço vetorial real de dimensão finita e seja
um operador linear.
subespaço
é dito
- invariante se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma definição sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Estamos falando de um espaço vetorial real de dimensão finita, que é tipo um conjunto de vetores onde dá pra fazer soma e multiplicação por escalar. O operador linear
é uma função que respeita essas operações. E a gente vai explorar o que significa um subespaço
ser
-invariante, ou seja, quando aplicar
em
não tira a gente de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores onde dá pra somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e tudo isso respeita certas regras, como a existência de um vetor zero, inversos, etc.
Passo 3
Agora, sobre o que é um operador linear
. É uma função que pega um vetor de
e devolve outro vetor em
, de tal forma que:
-
para todos (aditividade). -
para todo escalar e vetor (homogeneidade).
Passo 4
Agora, o foco é no subespaço
. Um subespaço é como uma “parte” de
que também é um espaço vetorial por si só. Ou seja, se você somar dois vetores de
ou multiplicar um vetor de
por um escalar, o resultado ainda está em
.
Passo 5
A definição diz que
é
-invariante se, quando você aplica o operador
em qualquer vetor de
, o resultado ainda está dentro de
. Em termos matemáticos:
.
Passo 6
Vamos entender isso melhor com um exemplo. Imagina que
é o plano
e
é a reta
. Se aplicarmos uma rotação de 90 graus sobre
, o vetor resultante não está mais na reta
, então
não seria
-invariante. Mas se
fosse uma escala que multiplica cada coordenada por 2, então qualquer vetor de
continua na reta
, tornando
-invariante.
Resposta
Então, resumindo, um subespaço
é
-invariante se, ao aplicar o operador linear
em qualquer vetor de
, a gente continua dentro de
. Isso é útil pra estudar como transformações agem dentro de certos subconjuntos do espaço vetorial sem “sair” deles.