Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas e são contínuas em I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , definida de duas formas diferentes dependendo de onde estamos no plano. Nosso objetivo é verificar se as derivadas parciais dessa função, ou seja, e , são contínuas no ponto . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que significa continuidade nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
A gente precisa calcular as derivadas parciais e e depois verificar se elas são contínuas em .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial quando . Lembre-se que para derivadas parciais, tratamos uma variável como constante. Usaremos a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular para . Usando a mesma regra do quociente:

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais para , precisamos verificar os limites dessas derivadas quando se aproxima de . Se os limites existirem e forem iguais às derivadas no ponto , então as derivadas serão contínuas ali.

Passo 6

Vamos primeiro avaliar . Para isso, usamos a definição de derivada parcial no ponto:

Passo 7

Agora, vamos avaliar o limite de quando :
Para simplificar, podemos usar coordenadas polares onde e . Substituindo:
Esse limite depende de , ou seja, não é o mesmo para todos os caminhos que se aproximam de . Portanto, o limite não existe.

Passo 8

Como o limite de quando não coincide com , concluímos que não é contínua em .

Passo 9

Vamos fazer uma análise semelhante para . Primeiro, calculamos usando a definição:

Passo 10

Agora, avaliamos o limite de quando :
Usando coordenadas polares:
Assim como no caso de , esse limite também depende de , o que significa que não existe um único valor limítro para todos os caminhos.

Passo 11

Como o limite de quando não coincide com , também concluímos que não é contínua em .

Resposta

As derivadas parciais e da função não são contínuas no ponto .

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