Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas
e
são contínuas em
I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, definida de duas formas diferentes dependendo de onde estamos no plano. Nosso objetivo é verificar se as derivadas parciais dessa função, ou seja,
e
, são contínuas no ponto
. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que significa continuidade nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
A gente precisa calcular as derivadas parciais
e
e depois verificar se elas são contínuas em
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial
quando
. Lembre-se que para derivadas parciais, tratamos uma variável como constante. Usaremos a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para
. Usando a mesma regra do quociente:
Passo 5
Agora que temos as expressões das derivadas parciais para
, precisamos verificar os limites dessas derivadas quando
se aproxima de
. Se os limites existirem e forem iguais às derivadas no ponto
, então as derivadas serão contínuas ali.
Passo 6
Vamos primeiro avaliar
. Para isso, usamos a definição de derivada parcial no ponto:
Passo 7
Agora, vamos avaliar o limite de
quando
:
Para simplificar, podemos usar coordenadas polares onde
e
. Substituindo:
Esse limite depende de
, ou seja, não é o mesmo para todos os caminhos que se aproximam de
. Portanto, o limite não existe.
Passo 8
Como o limite de
quando
não coincide com
, concluímos que
não é contínua em
.
Passo 9
Vamos fazer uma análise semelhante para
. Primeiro, calculamos
usando a definição:
Passo 10
Agora, avaliamos o limite de
quando
:
Usando coordenadas polares:
Assim como no caso de
, esse limite também depende de
, o que significa que não existe um único valor limítro para todos os caminhos.
Passo 11
Como o limite de
quando
não coincide com
, também concluímos que
não é contínua em
.
Resposta
As derivadas parciais
e
da função
não são contínuas no ponto
.
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.
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