Considere a sequência .
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma sequência específica e identificar duas subsequências que são limitadas e duas que não são limitadas. Matéria envolvida: Análise de Sequências Numéricas. O que precisamos: Entender o que são sequências, subsequências, e como identificar se são limitadas ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite acima e outro como limite abaixo para todos os elementos da sequência. Por exemplo, se todos os números da sequência estão entre 0 e 5, ela é limitada.

Passo 3

Agora, uma sequência não limitada é aquela que não tem esses limites. Ou seja, os números podem crescer indefinidamente sem se prender a um valor máximo ou mínimo.

Passo 4

Vamos dar uma olhada na sequência que a gente tem: . Essa sequência está organizada em blocos onde cada novo bloco adiciona um número a mais. Por exemplo:
  • 1º bloco: 1
  • 2º bloco: 2
  • 3º bloco: 1, 2, 3
  • 4º bloco: 1, 2, 3, 4
  • E assim por diante.

Passo 5

Vamos encontrar duas subsequências limitadas. Uma maneira fácil é escolher sempre o mesmo número:
  1. Subsequência das 1s: – Todos os elementos são 1, então está entre 1 e 1.
  2. Subsequência das 2s: – Todos os elementos são 2, então está entre 2 e 2.
Essas duas subsequências são claramente limitadas porque não variam.

Passo 6

Agora, vamos achar duas subsequências não limitadas. Podemos escolher elementos que aumentam sem parar:
  1. Subsequência dos máximos de cada bloco: Observando cada bloco, os máximos são 1, 2, 3, 4, 5, etc. Então, a subsequência fica , que cresce indefinidamente.
  2. Subsequência dos números acumulados no final de cada bloco: Similar ao anterior, sempre pegamos o último número de cada bloco, que também é .
Ambas as subsequências crescem sem limite, então não são limitadas.

Resposta

Duas subsequências limitadas são e . Duas subsequências não limitadas são e .

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