Considere a sequência
.
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma sequência específica e identificar duas subsequências que são limitadas e duas que não são limitadas. Matéria envolvida: Análise de Sequências Numéricas. O que precisamos: Entender o que são sequências, subsequências, e como identificar se são limitadas ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite acima e outro como limite abaixo para todos os elementos da sequência. Por exemplo, se todos os números da sequência estão entre 0 e 5, ela é limitada.
Passo 3
Agora, uma sequência não limitada é aquela que não tem esses limites. Ou seja, os números podem crescer indefinidamente sem se prender a um valor máximo ou mínimo.
Passo 4
Vamos dar uma olhada na sequência que a gente tem:
. Essa sequência está organizada em blocos onde cada novo bloco adiciona um número a mais. Por exemplo:
- 1º bloco: 1
- 2º bloco: 2
- 3º bloco: 1, 2, 3
- 4º bloco: 1, 2, 3, 4
- E assim por diante.
Passo 5
Vamos encontrar duas subsequências limitadas. Uma maneira fácil é escolher sempre o mesmo número:
- Subsequência das 1s:
– Todos os elementos são 1, então está entre 1 e 1. - Subsequência das 2s:
– Todos os elementos são 2, então está entre 2 e 2.
Essas duas subsequências são claramente limitadas porque não variam.
Passo 6
Agora, vamos achar duas subsequências não limitadas. Podemos escolher elementos que aumentam sem parar:
- Subsequência dos máximos de cada bloco: Observando cada bloco, os máximos são 1, 2, 3, 4, 5, etc. Então, a subsequência fica
, que cresce indefinidamente. - Subsequência dos números acumulados no final de cada bloco: Similar ao anterior, sempre pegamos o último número de cada bloco, que também é
.
Ambas as subsequências crescem sem limite, então não são limitadas.
Resposta
Duas subsequências limitadas são
e
. Duas subsequências não limitadas são
e
.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
definida pela recorrência
,
,
. Justifique porque a sequência converge e porque seu limite é igual a
.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:1
Calcule a área da parte do parabolóide hiperbólico
que se encontra dentro do cilindro
fora do cilindro
.
Dê um exemplo de uma sequência limitada, não-monótona, que possui uma subsequência crescente.