No Exemplo 3, vimos que
e
são soluções da equação diferencial
no intervalo
. Explique por que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre equações diferenciais, especificamente sobre verificar se uma função definida por partes é solução de uma certa equação. O enunciado nos dá duas soluções para uma equação diferencial no intervalo
e quer que a gente mostre por que uma função que usa uma dessas soluções para
também é solução de outra equação diferencial no intervalo todo, ou seja, para qualquer valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial e como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. Basicamente, é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No nosso caso, a equação dada é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Para verificar se uma função
é solução dessa equação, a gente precisa calcular sua derivada
e substituir ambos na equação para ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 3
Vamos analisar a função definida por partes que a gente tem:
Primeiro, vamos encontrar a derivada dessa função. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Simplificando:
Para facilitar, vamos colocar tudo em termos de
:
Para que essa fração seja igual a zero, o numerador precisa ser zero:
Mas, no intervalo
,
sempre será menor que
, já que
. Isso indica que a única maneira da equação ser satisfeita é que ambas as partes sejam zero, o que só acontece quando
. No entanto, como estamos considerando
, a função atende a condição da equação diferencial dentro desse intervalo.
Resposta
Portanto, a função definida por partes
para
satisfaz a equação diferencial
nesse intervalo, tornando-a uma solução válida para
dentro do contexto dado.
Exercícios relacionados
Verifique que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.
Prove que :
O conjunto não é limitado inferiormente.
O conjunto
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
O que significa, geometricamente, uma sequência ser de Cauchy?