No Exemplo 3, vimos que e são soluções da equação diferencial no intervalo . Explique por que a função definida por partes
é a solução de no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre equações diferenciais, especificamente sobre verificar se uma função definida por partes é solução de uma certa equação. O enunciado nos dá duas soluções para uma equação diferencial no intervalo e quer que a gente mostre por que uma função que usa uma dessas soluções para também é solução de outra equação diferencial no intervalo todo, ou seja, para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. Basicamente, é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No nosso caso, a equação dada é:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Para verificar se uma função é solução dessa equação, a gente precisa calcular sua derivada e substituir ambos na equação para ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos analisar a função definida por partes que a gente tem:
Primeiro, vamos encontrar a derivada dessa função. Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial :
Simplificando:
Para facilitar, vamos colocar tudo em termos de :
Para que essa fração seja igual a zero, o numerador precisa ser zero:
Mas, no intervalo , sempre será menor que , já que . Isso indica que a única maneira da equação ser satisfeita é que ambas as partes sejam zero, o que só acontece quando . No entanto, como estamos considerando , a função atende a condição da equação diferencial dentro desse intervalo.

Resposta

Portanto, a função definida por partes para satisfaz a equação diferencial nesse intervalo, tornando-a uma solução válida para dentro do contexto dado.

Exercícios relacionados

Verifique que a função definida por partes
é a solução de no intervalo .
Prove que :
O conjunto não é limitado inferiormente.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
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