Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar aproximadamente o valor de
que faz
, ou seja, a raiz da função. Para isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas que nos ajudam a encontrar soluções aproximadas para equações quando não conseguimos resolver de forma exata.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar um intervalo onde a raiz está localizada. Vamos avaliar a função em alguns pontos para ver onde ela muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Como
e
, a função muda de negativo para positivo nesse intervalo, o que significa que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 4
Vamos usar o Método da Bissecção para aproximar a raiz. Esse método divide o intervalo em duas metades e verifica em qual delas a raiz está localizada, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio
do intervalo
, onde
e
:
Agora, avaliamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Repetimos o processo com o novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Continuamos com o intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Continuamos com o intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 8
Continuamos com o intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 10
Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 11
Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 12
Calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como a diferença entre os limites do intervalo
é menor que 0,005, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A raiz aproximada de
com precisão de 0,005 é
.
Exercícios relacionados
No Exemplo 3, vimos que
e
são soluções da equação diferencial
no intervalo
. Explique por que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.
Verifique que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.
O que significa, geometricamente, uma sequência ser de Cauchy?
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.