Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar aproximadamente o valor de que faz , ou seja, a raiz da função. Para isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas que nos ajudam a encontrar soluções aproximadas para equações quando não conseguimos resolver de forma exata.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um intervalo onde a raiz está localizada. Vamos avaliar a função em alguns pontos para ver onde ela muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos :
Como e , a função muda de negativo para positivo nesse intervalo, o que significa que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 4

Vamos usar o Método da Bissecção para aproximar a raiz. Esse método divide o intervalo em duas metades e verifica em qual delas a raiz está localizada, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio do intervalo , onde e :
Agora, avaliamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo . Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos com o intervalo . Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 7

Continuamos com o intervalo . Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 8

Continuamos com o intervalo . Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 9

Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 10

Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 11

Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 12

Calculamos o ponto médio:
Calculando :
Como a diferença entre os limites do intervalo é menor que 0,005, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada de com precisão de 0,005 é .

Exercícios relacionados

No Exemplo 3, vimos que e são soluções da equação diferencial no intervalo . Explique por que a função definida por partes
é a solução de no intervalo .
Verifique que a função definida por partes
é a solução de no intervalo .
O que significa, geometricamente, uma sequência ser de Cauchy?
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.