Verifique que a função definida por partes
y = { -x², x < 0; x², x ≥ 0 }
é a solução de x y' - 2 y = 0 no intervalo (-infinito, infinito).

Passo 1

Vamos verificar se a função definida por partes
y = { -x², x < 0; x², x ≥ 0 }
é solução da equação diferencial no intervalo . Para isso, vamos precisar entender derivadas e como substituir na equação dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função para cada parte do domínio. A derivada de em relação a é:
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial para cada intervalo.
Para :
Para :

Passo 4

Além disso, precisamos verificar o ponto para garantir que a função seja contínua e diferenciável ali.
Os limites à esquerda e à direita de são iguais:
Também as derivadas à esquerda e à direita são iguais em :

Resposta

A função definida por partes é, de fato, solução da equação diferencial no intervalo .

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