Prove que :
O conjunto Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} não é limitado inferiormente.

Passo 1

Então, temos o conjunto dos números inteiros, que é . A questão pede para provar que esse conjunto não é limitado inferiormente. Isso significa mostrar que não existe um número que seja o menor de todos os inteiros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos limitados na matemática, especificamente sobre limites inferiores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado inferiormente. Um conjunto A de números reais é limitado inferiormente se existe um número m tal que para todo a em A. Em outras palavras, m é um limite inferior de A se nenhum elemento de A é menor que m.

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto dos inteiros Z. Precisamos verificar se existe um número m que seja menor ou igual a todos os inteiros. Suponha, para fins de contradição, que tal número m exista.

Passo 4

Se m for um limite inferior de Z, então para todo inteiro n, devemos ter . Vamos escolher um inteiro específico, por exemplo, . Como n é um inteiro menor que m, isso violaria a condição .

Passo 5

Essa situação nos leva a uma contradição, porque não existe um número m que seja menor ou igual a todos os inteiros. Sempre podemos escolher um inteiro menor que qualquer número que supomos ser o limite inferior. Portanto, não há um limite inferior para o conjunto Z.

Resposta

O conjunto dos inteiros Z não é limitado inferiormente, pois não existe um número que seja menor ou igual a todos os inteiros.

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