Prove que :
O conjunto
não é limitado inferiormente.
O conjunto
Passo 1
Então, temos o conjunto dos números inteiros, que é
. A questão pede para provar que esse conjunto não é limitado inferiormente. Isso significa mostrar que não existe um número que seja o menor de todos os inteiros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos limitados na matemática, especificamente sobre limites inferiores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado inferiormente. Um conjunto
de números reais é limitado inferiormente se existe um número
tal que
para todo
em
. Em outras palavras,
é um limite inferior de
se nenhum elemento de
é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto dos inteiros
. Precisamos verificar se existe um número
que seja menor ou igual a todos os inteiros. Suponha, para fins de contradição, que tal número
exista.
Passo 4
Se
for um limite inferior de
, então para todo inteiro
, devemos ter
. Vamos escolher um inteiro específico, por exemplo,
. Como
é um inteiro menor que
, isso violaria a condição
.
Passo 5
Essa situação nos leva a uma contradição, porque não existe um número
que seja menor ou igual a todos os inteiros. Sempre podemos escolher um inteiro menor que qualquer número que supomos ser o limite inferior. Portanto, não há um limite inferior para o conjunto
.
Resposta
O conjunto dos inteiros
não é limitado inferiormente, pois não existe um número que seja menor ou igual a todos os inteiros.
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Considere a sequência
.
Calule o limite de usando regras de cálculo.
Calule o limite de
Verifique que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.
No Exemplo 3, vimos que
e
são soluções da equação diferencial
no intervalo
. Explique por que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.