Considere que e sejam sequências convergentes. Defina as sequências e , de forma que e . Mostre que as sequências e são convergentes.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas sequências convergentes, e . A partir delas, definimos duas novas sequências: , que é o máximo entre e , e , que é o mínimo entre e . Nosso objetivo é mostrar que essas novas sequências também são convergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor à medida que aumenta. Além disso, sabemos que funções contínuas preservam a convergência. Ou seja, se temos sequências convergentes e aplicamos uma função contínua a elas, o resultado também será uma sequência convergente.

Passo 3

As funções máximo e mínimo são funções contínuas. Isso significa que podemos aplicar essas funções às sequências convergentes e e ainda obter sequências convergentes.

Passo 4

Denotando o limite de por e o limite de por , temos que:

Passo 5

Analogamente,

Resposta

As sequências e são convergentes, com limites e , respectivamente.

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Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .