Considere que
e
sejam sequências convergentes. Defina as sequências
e
, de forma que
e
. Mostre que as sequências
e
são convergentes.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas sequências convergentes,
e
. A partir delas, definimos duas novas sequências:
, que é o máximo entre
e
, e
, que é o mínimo entre
e
. Nosso objetivo é mostrar que essas novas sequências também são convergentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor à medida que
aumenta. Além disso, sabemos que funções contínuas preservam a convergência. Ou seja, se temos sequências convergentes e aplicamos uma função contínua a elas, o resultado também será uma sequência convergente.
Passo 3
As funções máximo e mínimo são funções contínuas. Isso significa que podemos aplicar essas funções às sequências convergentes
e
e ainda obter sequências convergentes.
Passo 4
Denotando o limite de
por
e o limite de
por
, temos que:
Passo 5
Analogamente,
Resposta
As sequências
e
são convergentes, com limites
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
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Mostre, pela definição, que
é uma Sequência de Cauchy.
Dê exemplos de sequências
e
, de tal modo que:
.