1. Exercício 1.27 - O limite de fadiga de contato admissível para um pinhão reto vale 630 MPa. Determinar a largura mínima necessária (considerando exclusivamente o critério da resistência) para esse pinhão, considerando que o mesmo deva transmitir uma potência de 8096 W à 950 rpm. Dados: Kcirc=Km=1,6; z1=28; i= 1:2; Qv=7; m=4,0 mm; Cp=189,5 (MPa) 0,5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para encontrar a largura mínima necessária de um pinhão reto, considerando apenas o critério da resistência. A gente sabe que o limite de fadiga de contato admissível para esse pinhão é de 630 MPa. Além disso, o pinhão precisa transmitir uma potência de 8096 W a 950 rpm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de máquinas, especificamente relacionados ao dimensionamento de engrenagens. Precisaremos aplicar fórmulas de potência, torque e momentos de contato para determinar a largura mínima do pinhão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a potência que o pinhão precisa transmitir. A potência § está relacionada ao torque (T) e à velocidade angular (n) pela fórmula:
P = T cdot omega1000
Onde:
  • $ P $ é a potência em watts (W),
  • $ T $ é o torque em Newton-metros (N·m),
  • $ \omega $ é a velocidade angular em radianos por segundo (rad/s).
Mas, como geralmente trabalhamos com rpm (rotações por minuto), podemos usar uma fórmula mais direta:
P
Vamos reorganizar essa fórmula para encontrar o torque:
T

Passo 3

Vamos calcular o torque $ T $ que o pinhão precisa exercer. Temos:
  • Potência $ P = 8096 $ W,
  • Velocidade $ n = 950 $ rpm.
Substituindo na fórmula:
T
Calculando:
P = 8096

Passo 4

Agora, precisamos relacionar esse torque com as características do pinhão para encontrar a largura mínima necessária. O torque em uma engrenagem pode ser relacionado ao momento de contato $ C $ e à largura do dente $ b $ pela fórmula:
C
Onde:
  • $ T $ é o torque em N·m,
  • $ C $ é o momento de contato em N·m,
  • $ b $ é a largura do dente em mm,
  • $ m $ é o módulo da engrenagem em mm.
No entanto, precisamos primeiro encontrar o momento de contato $ C $. Para isso, usamos a fórmula que relaciona o momento de contato com a pressão de contato admissível $ \sigma_H $:
b
Rearranjando para encontrar $ C $:
T = C cdot b cdot m
Mas sabemos que o limite de fadiga de contato admissível $ \sigma_H $ é de 630 MPa.

Passo 5

Vamos combinar as duas fórmulas que temos para o torque:
T = C cdot b cdot m
C = sigmaH cdot b cdot m
Substituindo $ C $ na primeira equação:
C
T = sigmaH cdot b cdot m cdot b cdot m
Mas isso não está correto. Vamos revisar:
Na verdade, a fórmula correta que relaciona torque, momento de contato e largura do dente é:
T = sigmaH cdot b^2 cdot m^2
Então, para encontrar a largura $ b $, rearranjamos a fórmula:
T = sigmaH cdot b cdot m^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
  • Torque $ T = 81.55 $ N·m,
  • Pressão de contato admissível $ \sigma_H = 630 $ MPa = $ 630 \times 10^6 $ N/m²,
  • Módulo $ m = 4.0 $ mm.
Primeiro, precisamos garantir que as unidades estão consistentes. Vamos converter o módulo para metros:
T = 81.55
Agora, substituindo na fórmula:
sigmaH = 630
Calculando o denominador:
630 times 10^6
Então:
m = 4.0
Convertendo para milímetros:
m = 4.0 , mm = 0.004 , m

Resposta

A largura mínima necessária para o pinhão reto é de aproximadamente 8,08 mm.

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