- Exercício 1.27 - O limite de fadiga de contato admissível para um pinhão reto vale 630 MPa. Determinar a largura mínima necessária (considerando exclusivamente o critério da resistência) para esse pinhão, considerando que o mesmo deva transmitir uma potência de 8096 W à 950 rpm. Dados:
(MPa) 0,5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para encontrar a largura mínima necessária de um pinhão reto, considerando apenas o critério da resistência. A gente sabe que o limite de fadiga de contato admissível para esse pinhão é de 630 MPa. Além disso, o pinhão precisa transmitir uma potência de 8096 W a 950 rpm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de máquinas, especificamente relacionados ao dimensionamento de engrenagens. Precisaremos aplicar fórmulas de potência, torque e momentos de contato para determinar a largura mínima do pinhão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a potência que o pinhão precisa transmitir. A potência § está relacionada ao torque (T) e à velocidade angular (n) pela fórmula:
Onde:
- $ P $ é a potência em watts (W),
- $ T $ é o torque em Newton-metros (N·m),
- $ \omega $ é a velocidade angular em radianos por segundo (rad/s).
Mas, como geralmente trabalhamos com rpm (rotações por minuto), podemos usar uma fórmula mais direta:
Vamos reorganizar essa fórmula para encontrar o torque:
Passo 3
Vamos calcular o torque $ T $ que o pinhão precisa exercer. Temos:
- Potência $ P = 8096 $ W,
- Velocidade $ n = 950 $ rpm.
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar esse torque com as características do pinhão para encontrar a largura mínima necessária. O torque em uma engrenagem pode ser relacionado ao momento de contato $ C $ e à largura do dente $ b $ pela fórmula:
Onde:
- $ T $ é o torque em N·m,
- $ C $ é o momento de contato em N·m,
- $ b $ é a largura do dente em mm,
- $ m $ é o módulo da engrenagem em mm.
No entanto, precisamos primeiro encontrar o momento de contato $ C $. Para isso, usamos a fórmula que relaciona o momento de contato com a pressão de contato admissível $ \sigma_H $:
Rearranjando para encontrar $ C $:
Mas sabemos que o limite de fadiga de contato admissível $ \sigma_H $ é de 630 MPa.
Passo 5
Vamos combinar as duas fórmulas que temos para o torque:
Substituindo $ C $ na primeira equação:
Mas isso não está correto. Vamos revisar:
Na verdade, a fórmula correta que relaciona torque, momento de contato e largura do dente é:
Então, para encontrar a largura $ b $, rearranjamos a fórmula:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
- Torque $ T = 81.55 $ N·m,
- Pressão de contato admissível $ \sigma_H = 630 $ MPa = $ 630 \times 10^6 $ N/m²,
- Módulo $ m = 4.0 $ mm.
Primeiro, precisamos garantir que as unidades estão consistentes. Vamos converter o módulo para metros:
Agora, substituindo na fórmula:
Calculando o denominador:
Então:
Convertendo para milímetros:
Resposta
A largura mínima necessária para o pinhão reto é de aproximadamente 8,08 mm.