Exercício 37 do livro - Sobre uma certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela expressão , para as componentes , y e do campo elétrico sobre a região. Qual é o modulo do campo elétrico no ponto , cuja coordenadas são .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o potencial elétrico numa região do espaço, que é dado por . O que precisamos fazer é descobrir qual é o módulo do campo elétrico no ponto com coordenadas metros. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar o campo elétrico a partir do potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada coordenada (x, y, z).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, montamos o vetor gradiente com essas derivadas:
Mas lembre-se que o campo elétrico é o negativo desse gradiente:

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto nas expressões que encontramos para :
Então, o vetor campo elétrico no ponto é:

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto é:

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