Exercício 37 do livro - Sobre uma certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela expressão
, para as componentes
, y e
do campo elétrico sobre a região. Qual é o modulo do campo elétrico no ponto
, cuja coordenadas são
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o potencial elétrico numa região do espaço, que é dado por
. O que precisamos fazer é descobrir qual é o módulo do campo elétrico no ponto
com coordenadas
metros. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar o campo elétrico a partir do potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada coordenada (x, y, z).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, montamos o vetor gradiente
com essas derivadas:
Mas lembre-se que o campo elétrico é o negativo desse gradiente:
Passo 5
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
nas expressões que encontramos para
:
Então, o vetor campo elétrico no ponto
é:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto
é: