Exercício 37 do livro - Sobre uma certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela expressão V=5 x-3 x^2 y+2 y z^2, para as componentes x, y e z do campo elétrico sobre a região. Qual é o modulo do campo elétrico no ponto P, cuja coordenadas são (1,0,2) m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o potencial elétrico numa região do espaço, que é dado por . O que precisamos fazer é descobrir qual é o módulo do campo elétrico no ponto com coordenadas metros. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar o campo elétrico a partir do potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada coordenada (x, y, z).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial Vpartial x = partialpartial x (5x - 3x^2y + 2yz^2) = 5 - 6xy em relação a partial Vpartial y = partialpartial y (5x - 3x^2y + 2yz^2) = -3x^2 + 2z^2 , partial Vpartial z = partialpartial z (5x - 3x^2y + 2yz^2) = 4yz e :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, montamos o vetor gradiente nabla V = ( 5 - 6xy, -3x^2 + 2z^2, 4yz ) com essas derivadas:
E = -nabla V = ( - (5 - 6xy), - (-3x^2 + 2z^2), -4yz ) = ( -5 + 6xy, 3x^2 - 2z^2, -4yz )
Mas lembre-se que o campo elétrico é o negativo desse gradiente:

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto Ex = -5 + 6 cdot 1 cdot 0 = -5 + 0 = -5 nas expressões que encontramos para Ey = 3 cdot (1)^2 - 2 cdot (2)^2 = 3 - 8 = -5 :
Ez = -4 cdot 0 cdot 2 = 0
E = (-5, -5, 0) , V/m
Então, o vetor campo elétrico no ponto é:

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto |E| = raiz(-5)^2 + (-5)^2 + 0^2 = raiz25 + 25 + 0 = raiz50 approx 7,07 , V/m é:

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