Exercício 65. Determine o dominio as possiveis raizes para as funções.
v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o domínio da função e as raízes possíveis dela. A função que vamos analisar é:
Aqui, vamos precisar entender sobre funções logarítmicas e como encontrar onde elas estão definidas (domínio) e onde a função iguala a zero (raízes).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica é o conjunto de todos os valores de para os quais o argumento do logaritmo é positivo.
Então, para a função , temos dois logaritmos:
O segundo logaritmo, , já está definido porque é positivo. Portanto, só precisamos nos preocupar com o primeiro logaritmo.
Então, precisamos que:
Vamos resolver essa inequação:
  • Primeiro, identificamos onde a expressão é positiva.
  • Segundo, encontramos os valores de que satisfazem essa condição.
Vamos analisar os sinais:
  1. Ponto de corte no numerador:
  2. Ponto de corte no denominador:
Dividimos a reta numérica em intervalos com base nesses pontos:
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
Agora, testamos cada intervalo:
  • Intervalo 1 ( ):
    • negativo
    • negativo
  • Intervalo 2 ( ):
    • negativo
    • positivo
  • Intervalo 3 ( ):
    • positivo
    • positivo
Então, a expressão é verdadeira nos intervalos e .
Além disso, precisamos garantir que o denominador , ou seja, .
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem .
Temos:
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Como os logaritmos têm a mesma base e são iguais, seus argumentos também devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para :
Multiplicamos ambos os lados por :
Distribuímos :
Agora, trazemos todos os termos com para um lado:
Fatoramos :
Calculamos dentro dos parênteses:
Então:
Multiplicamos ambos os lados por :
Agora, precisamos verificar se está dentro do domínio que encontramos anteriormente: . Como , está dentro do domínio.

Resposta

O domínio da função é e a raiz da função é .

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