Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
v)
v)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o domínio da função e as raízes possíveis dela. A função que vamos analisar é:
Aqui, vamos precisar entender sobre funções logarítmicas e como encontrar onde elas estão definidas (domínio) e onde a função iguala a zero (raízes).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica é o conjunto de todos os valores de
para os quais o argumento do logaritmo é positivo.
Então, para a função
, temos dois logaritmos:
O segundo logaritmo,
, já está definido porque
é positivo. Portanto, só precisamos nos preocupar com o primeiro logaritmo.
Então, precisamos que:
Vamos resolver essa inequação:
- Primeiro, identificamos onde a expressão
é positiva. - Segundo, encontramos os valores de
que satisfazem essa condição.
Vamos analisar os sinais:
- Ponto de corte no numerador:
- Ponto de corte no denominador:
Dividimos a reta numérica em intervalos com base nesses pontos:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Agora, testamos cada intervalo:
-
Intervalo 1 (
): -
negativo -
negativo -
-
-
Intervalo 2 (
): -
negativo -
positivo -
-
-
Intervalo 3 (
): -
positivo -
positivo -
-
Então, a expressão
é verdadeira nos intervalos
e
.
Além disso, precisamos garantir que o denominador
, ou seja,
.
Portanto, o domínio da função
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
.
Temos:
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Como os logaritmos têm a mesma base e são iguais, seus argumentos também devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuímos
:
Agora, trazemos todos os termos com
para um lado:
Fatoramos
:
Calculamos dentro dos parênteses:
Então:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, precisamos verificar se
está dentro do domínio que encontramos anteriormente:
. Como
, está dentro do domínio.
Resposta
O domínio da função é
e a raiz da função é
.
Exercícios relacionados
Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
x)
x)
Demonstre que
Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
xi)
xi)
Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
vii)
vii)