Demonstre que lim x 0^+ raizx cos ^4 x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando se aproxima de 0 pelo lado positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Sabemos que representa a raiz quadrada de . Conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, também se aproxima de 0, porque a raiz quadrada de um número muito pequeno é ainda menor.

Passo 3

Agora, vamos analisar . O cosseno de qualquer número real está entre -1 e 1. Quando elevamos à quarta potência, o resultado fica entre 0 e 1, já que qualquer número entre -1 e 1, quando elevado a uma potência par, se torna positivo.

Passo 4

Sabemos que . Conforme se aproxima de 0, fica cada vez mais próximo de 1. Portanto, também se aproxima de .

Passo 5

Agora, juntando as duas partes: raizx cdot cos^4 x approx 0 cdot 1 = 0 está indo para 0 e está indo para 1. Quando multiplicamos esses dois resultados, temos:

Resposta

Portanto, .

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