Exercício 65. Determine o dominio as possiveis raizes para as funções.
x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e as possíveis raízes da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de logaritmos e equações logarítmicas. Vamos precisar lembrar que o logaritmo só é definido para números positivos e conhecer as propriedades dos logaritmos para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso dos logaritmos, o argumento dentro do logaritmo precisa ser positivo. Então, temos duas condições:

Passo 3

Vamos resolver essas duas desigualdades para encontrar os valores de :


Como precisa satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo, o domínio será o intervalo onde as duas desigualdades são verdadeiras. Ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Então, vamos resolver a equação:
Primeiro, vamos isolar os logaritmos:
Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos com a mesma base é o logaritmo do produto:
Isso significa que:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Agora, trazemos o 2 para o lado esquerdo:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Agora, precisamos verificar se essas soluções estão dentro do domínio :
  • : Não está no domínio, então descartamos.
  • : Está no domínio, então é uma raiz válida.

Resposta

O domínio da função é e a única raiz é .

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v)
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xi)