Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim x 1[1x-1-2x^2-1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de . Isso envolve Cálculo de Limites, especificamente usando as Propriedades dos Limites para simplificar a expressão. Vamos precisar manipular as frações e fatorar expressões polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os denominadores das frações. Note que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) pode ser fatorado. Isso é útil porque fatorar ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, substituímos o denominador fatorado na segunda fração:
2x^2 -1 = 2(x - 1)(x + 1)
Então, nossa expressão original fica:
1x - 1 - 2(x - 1)(x + 1)

Passo 4

Para simplificar, vamos colocar as duas frações com o mesmo denominador. O denominador comum aqui é 1x - 1 = 1 cdot (x + 1)(x - 1)(x + 1) .
Reescrevendo a primeira fração:
x + 1(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)(x + 1)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora que temos o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:
(x + 1) - 2(x - 1)(x + 1)
Simplificando o numerador:
x + 1 - 2 = x - 1
Então, a expressão é:
x - 1(x - 1)(x + 1)

Passo 6

Perceba que 1x + 1 aparece no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 7

Agora, a expressão ficou bem mais simples! Basta calcular o limite de limx 1 1x + 1 = 11 + 1 = 12 quando se aproxima de 1:

Resposta

O limite é .

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