Exercício 1
Abaixo mostra-6 três particulas de cargas q1=+4 Q, q2=-4 Q e q3=-4 Q, todas situadas a uma distância d da origem. Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo elétrico total na origem, causado por três partículas com cargas $ q_{1}=+4Q $, $ q_{2}=-4Q $ e $ q_{3}=-4Q $, todas a uma distância $ d $ da origem. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e a regra da superposição, que nos permite somar os campos individuais para encontrar o campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ($ \vec{E} $) gerado por uma carga pontual $ q $ em uma distância $ r $ é dado pela fórmula:
E
Onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,99 \times 10^9 , N m²/C² $),
  • $ q $ é a carga,
  • $ r $ é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.

Passo 3

Como todas as três cargas estão a uma distância $ d $ da origem, o campo elétrico gerado por cada uma delas na origem terá magnitude:
d
Vamos calcular separadamente para cada carga.

Passo 4

Para $ q_{1} = +4Q $:
  • Como a carga é positiva, o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ aponta para longe da carga, ou seja, na direção oposta ao vetor posição.
Para $ q_{2} = -4Q $ e $ q_{3} = -4Q $:
  • Como as cargas são negativas, os campos elétricos $ \vec{E}_2 $ e $ \vec{E}_3 $ apontam em direção às cargas, ou seja, na direção dos vetores posição.

Passo 5

Precisamos saber as direções dos vetores posição das cargas em relação à origem. Vamos supor que as três cargas estão distribuídas de forma simétrica em torno da origem, formando ângulos de 120° entre elas. Assim, podemos expressar as direções dos campos elétricos em componentes $ x $ e $ y $.

Passo 6

Vamos considerar $ q_{1} $ no eixo positivo $ x $, $ q_{2} $ a 120° e $ q_{3} $ a 240° em relação ao eixo $ x $.
As componentes dos campos elétricos serão:
q1
x
q2
Onde $ E = k \frac{4Q}{d^2} $.

Passo 7

Calculando as componentes:
cos(120°) = -12, sin(120°) = raiz32
cos(240°) = -12, sin(240°) = -raiz32
Então,
E1 = E i
E2 = -E2 i + E raiz32 j
E3 = -E2 i - E raiz32 j

Passo 8

Agora, somamos as componentes $ x $ e $ y $ dos três campos para obter o campo total $ \vec{E}_{total} $:
Componentes $ x $:
x
Componentes $ y $:
y

Passo 9

Portanto, o campo elétrico total na origem é a soma dos campos em $ x $ e $ y $:
x

Resposta

O campo elétrico total na origem é nulo, ou seja, $ \vec{E}_{total} = \vec{0} $.

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