Exercício 1
Abaixo mostra-6 três particulas de cargas
e
, todas situadas a uma distância
da origem. Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas.
Abaixo mostra-6 três particulas de cargas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo elétrico total na origem, causado por três partículas com cargas $ q_{1}=+4Q $, $ q_{2}=-4Q $ e $ q_{3}=-4Q $, todas a uma distância $ d $ da origem. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e a regra da superposição, que nos permite somar os campos individuais para encontrar o campo total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ($ \vec{E} $) gerado por uma carga pontual $ q $ em uma distância $ r $ é dado pela fórmula:
Onde:
- $ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,99 \times 10^9 , N m²/C² $),
- $ q $ é a carga,
- $ r $ é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
Como todas as três cargas estão a uma distância $ d $ da origem, o campo elétrico gerado por cada uma delas na origem terá magnitude:
Vamos calcular separadamente para cada carga.
Passo 4
Para $ q_{1} = +4Q $:
- Como a carga é positiva, o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ aponta para longe da carga, ou seja, na direção oposta ao vetor posição.
Para $ q_{2} = -4Q $ e $ q_{3} = -4Q $:
- Como as cargas são negativas, os campos elétricos $ \vec{E}_2 $ e $ \vec{E}_3 $ apontam em direção às cargas, ou seja, na direção dos vetores posição.
Passo 5
Precisamos saber as direções dos vetores posição das cargas em relação à origem. Vamos supor que as três cargas estão distribuídas de forma simétrica em torno da origem, formando ângulos de 120° entre elas. Assim, podemos expressar as direções dos campos elétricos em componentes $ x $ e $ y $.
Passo 6
Vamos considerar $ q_{1} $ no eixo positivo $ x $, $ q_{2} $ a 120° e $ q_{3} $ a 240° em relação ao eixo $ x $.
As componentes dos campos elétricos serão:
Onde $ E = k \frac{4Q}{d^2} $.
Passo 7
Calculando as componentes:
Então,
Passo 8
Agora, somamos as componentes $ x $ e $ y $ dos três campos para obter o campo total $ \vec{E}_{total} $:
Componentes $ x $:
Componentes $ y $:
Passo 9
Portanto, o campo elétrico total na origem é a soma dos campos em $ x $ e $ y $:
Resposta
O campo elétrico total na origem é nulo, ou seja, $ \vec{E}_{total} = \vec{0} $.